|
|
|
|
|
\documentclass[a4paper, 12pt]{article}%тип документа
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
%отступы
|
|
|
|
|
|
\usepackage[left=2cm,right=2cm,top=2cm,bottom=3cm,bindingoffset=0cm]{geometry}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
%Русский язык
|
|
|
|
|
|
\usepackage[T2A]{fontenc} %кодировка
|
|
|
|
|
|
\usepackage[utf8]{inputenc} %кодировка исходного кода
|
|
|
|
|
|
\usepackage[english,russian]{babel} %локализация и переносы
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
%Вставка картинок
|
|
|
|
|
|
\usepackage{wrapfig}
|
|
|
|
|
|
\usepackage{graphicx}
|
|
|
|
|
|
\graphicspath{{pictures/}}
|
|
|
|
|
|
\DeclareGraphicsExtensions{.pdf,.png,.jpg}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
%оглавление
|
|
|
|
|
|
\usepackage{titlesec}
|
|
|
|
|
|
\titlespacing{\chapter}{0pt}{-30pt}{12pt}
|
|
|
|
|
|
\titlespacing{\section}{\parindent}{5mm}{5mm}
|
|
|
|
|
|
\titlespacing{\subsection}{\parindent}{5mm}{5mm}
|
|
|
|
|
|
\usepackage{setspace}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
%Графики
|
|
|
|
|
|
\usepackage{multirow}
|
|
|
|
|
|
\usepackage{pgfplots}
|
|
|
|
|
|
\pgfplotsset{compat=1.9}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
%Математика
|
|
|
|
|
|
\usepackage{amsmath, amsfonts, amssymb, amsthm, mathtools}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\usepackage{graphicx,xcolor}
|
|
|
|
|
|
\usepackage[cleanup]{gnuplottex}
|
|
|
|
|
|
\usepackage{subcaption}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{document}
|
|
|
|
|
|
\begin{titlepage}
|
|
|
|
|
|
\centering
|
|
|
|
|
|
\vspace{5cm}
|
|
|
|
|
|
{\scshape\LARGE Московский физико-технический институт \par}
|
|
|
|
|
|
\vspace{4cm}
|
|
|
|
|
|
{\scshape\Large Лабораторная работа 5.1.2 \par}
|
|
|
|
|
|
\vspace{1cm}
|
|
|
|
|
|
{\huge\bfseries Исследование эффекта Комптона \par}
|
|
|
|
|
|
\vspace{12cm}
|
|
|
|
|
|
{\LARGE Гришаев Григорий С01-119}
|
|
|
|
|
|
\end{titlepage}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\newpage
|
|
|
|
|
|
\paragraph{Цель работы:} С помощью сцинтилляционного спектрометра исследуется энергетический спектр $\gamma$-квантов, рассеянных на графите. Определяется энергия рассеянных $\gamma$-квантов в зависимости от угла рассеяния, а также энергия покоя частиц, на которых происходит комптоновское рассеяние.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\section{Теория}
|
|
|
|
|
|
Рассеяние $\gamma$-лучей в веществе относится к числу явлений, в которых особенно ясно проявляется двойственная природа излучения. Волновая теория, хорошо объясняющая рассеяние длинноволнового излучения, испытывает трудности при описании рассеяния рентгеновских и $\gamma$-лучей. Эта теория, в частности, не может объяснить, почему в составе рассеянного излучения, измеренного Комптоном, кроме исходной волны с частотой $\omega_{0}$ появляется дополнительная длинноволновая компонента, отсутствующая в спектре первичного излучения.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Появление этой компоненты легко объяснимо, если считать, что $\gamma$-излучение представляет собой поток квантов (фотонов), имеющих энергию $\hbar \omega$ и импульс $p=\hbar \omega / c .$ Эффект Комптона - увеличение длины волны рассеянного излучения по сравнению с падающим - интерпретируется как результат упругого соударения двух частиц: $\gamma$-кванта (фотона) и свободного электрона.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим элементарную теорию эффекта Комптона.
|
|
|
|
|
|
Пусть электрон до соударения покоился (его энергия равна энергии покоя $m c^{2}$ ), a $\gamma$-квант имел начальную энергию $\hbar \omega_{0}$ и импульс $\hbar \omega_{0} / c .$
|
|
|
|
|
|
После соударения электрон приобретает энергию $\gamma m c^{2}$ и импульс $\gamma m v,$ где $\gamma=$ $=\left(1-\beta^{2}\right)^{-1 / 2}, \beta=v / c,$ a $\gamma$-квант рассеивается на некоторый угол $\theta$ по отношению к первоначальному направлению движения.
|
|
|
|
|
|
Энергия и импульс $\gamma$-кванта становятся соответственно равным $\hbar \omega_{1}$ и $\hbar \omega_{1} / c$.
|
|
|
|
|
|
Запишем для рассматриваемого процесса законы сохранения энергии и импульса:
|
|
|
|
|
|
$$
|
|
|
|
|
|
\begin{array}{c}
|
|
|
|
|
|
m c^{2}+\hbar \omega_{0}=\gamma m c^{2}+\hbar \omega_{1} \\
|
|
|
|
|
|
\frac{\hbar \omega_{0}}{c}=\gamma m v \cos \varphi+\frac{\hbar \omega_{1}}{c} \cos \theta \\
|
|
|
|
|
|
\gamma m v \sin \varphi=\frac{\hbar \omega_{1}}{c} \sin \theta
|
|
|
|
|
|
\end{array}
|
|
|
|
|
|
$$
|
|
|
|
|
|
Решая совместно эти уравнения и переходя от частот $\omega_{0}$ и $\omega_{1}$ к длинам волн $\lambda_{0}$ и $\lambda_{1},$ нетрудно получить, что изменение длины волны рассеянного излучения равно
|
|
|
|
|
|
\begin{equation}\label{delta_lambda}
|
|
|
|
|
|
\Delta \lambda=\lambda_{1}-\lambda_{0}=\frac{h}{m c}(1-\cos \theta)=\Lambda_{\mathrm{K}}(1-\cos \theta)
|
|
|
|
|
|
\end{equation}
|
|
|
|
|
|
где $\lambda_{0}$ и $\lambda_{1}$ - длины волн $\gamma$-кванта до и после рассеяния, а величина
|
|
|
|
|
|
$$
|
|
|
|
|
|
\Lambda_{\mathrm{K}}=\frac{h}{m c}=2,42 \cdot 10^{-10} \mathrm{cm}
|
|
|
|
|
|
$$
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Основной целью данной работы является проверка соотношения (\ref{delta_lambda}).
|
|
|
|
|
|
Применительно к условиям нашего опыта формулу (\ref{delta_lambda}) следует преобразовать от длин волн к энергии $\gamma$-квантов. Как нетрудно показать, соответствующее выражение имеет вид
|
|
|
|
|
|
\begin{equation}\label{energy}
|
|
|
|
|
|
\frac{1}{\varepsilon(\theta)}-\frac{1}{\varepsilon_{0}}=1-\cos \theta
|
|
|
|
|
|
\end{equation}
|
|
|
|
|
|
Здесь $\varepsilon_{0}=E_{0} /\left(m c^{2}\right)-$ выраженная в единицах $m c^{2}$ энергия $\gamma$-квантов, падаюших на рассеиватель, $\varepsilon(\theta)$ - выраженная в тех же единицах энергия квантов, испытавших комптоновское рассеяние на угол $\theta, m-$ масса электрона.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\section{Экспериментальная установка}
|
|
|
|
|
|
Блок-схема установки изображена на Рис.1. Источником излучения 1 служит $137 \mathrm{Cs},$ испускаюший $\gamma$-лучи с энергией 662 кэВ.
|
|
|
|
|
|
Он помещен в толстостенный свинцовый контейнер с коллиматором.
|
|
|
|
|
|
Сформированный коллиматором узкий пучок $\gamma$-квантов попадает на графитовую мишень 2 (цилиндр диаметром 40 мм и высотой 100 мм).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{figure}[h]
|
|
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
|
|
|
|
\includegraphics[width = \textwidth]{0.jpg}
|
|
|
|
|
|
\caption{Экспериментальная установка}
|
|
|
|
|
|
\label{setup}
|
|
|
|
|
|
\end{center}
|
|
|
|
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Кванты, испытавшие комптоновское рассеяние в мишени, регистрируются сцинтилляционным счетчиком, принцип работы которого рассмотрен в работе 5.3.
|
|
|
|
|
|
Счетчик состоит из фотоэлектронного умножителя 3 (далее ФЭУ) и сцинтиллятора 4.
|
|
|
|
|
|
Сцинтиллятором служит кристалл NaI(Tl) цилиндрической формы диаметром 40 мм и высотой 40 мм, его выходное окно находится в оптическом контакте с фотокатодом ФЭУ.
|
|
|
|
|
|
Сигналы, возникающие на аноде ФЭУ, подаются на ЭВМ для амплитудного анализа.
|
|
|
|
|
|
Кристалл и ФЭУ расположены в светонепроницаемом блоке, укрепленном на горизонтальной штанге.
|
|
|
|
|
|
Штанга вместе с этим блоком может вращаться относительно мишени, угол поворота отсчитывается по лимбу 6.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\section{Обработка результатов}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для обработки результатов используется формула (\ref{energy}) с замененными энергиями квантов на $N(\theta)$.
|
|
|
|
|
|
\begin{equation}\label{main_eq}
|
|
|
|
|
|
\frac{1}{N(\theta)} - \frac{1}{N(0)} = A(1-\cos\theta)
|
|
|
|
|
|
\end{equation}
|
|
|
|
|
|
\newpage
|
|
|
|
|
|
\section{Ход работы}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Графики для углов $\theta = 0^0-110^0$ представлены на фотографиях ниже (Рис.\ref{graphs}).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{figure}[h]
|
|
|
|
|
|
\centering
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{subfigure}{0.7\textwidth}
|
|
|
|
|
|
\includegraphics[width=\linewidth]{1.jpg}
|
|
|
|
|
|
\caption{Проверка для $\theta = 0-40^0$}
|
|
|
|
|
|
\end{subfigure}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\hfill
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{subfigure}{0.7\textwidth}
|
|
|
|
|
|
\includegraphics[width=\linewidth]{2.jpg}
|
|
|
|
|
|
\caption{Проверка для $\theta = 50-90^0$}
|
|
|
|
|
|
\end{subfigure}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\hfill
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{subfigure}{0.7\textwidth}
|
|
|
|
|
|
\includegraphics[width=\linewidth]{3.jpg}
|
|
|
|
|
|
\caption{Проверка для $\theta = 100-110^0$}
|
|
|
|
|
|
\end{subfigure}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\caption{Графики для $\theta = 0 - 90^0$}
|
|
|
|
|
|
\label{graphs}
|
|
|
|
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициент $A$ найдем с помощью графика зависимости $1-\cos \theta$ от $\frac{1}{N(\theta)} - \frac{1}{N(0)}$. В таблицу занесем все измеренные величины:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{table}[h!]
|
|
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
|
|
|
|
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
|
|
|
|
|
|
\hline
|
|
|
|
|
|
$\theta$, $^0$ & $\sigma_{\theta}$, $^0$ & $N(\theta)$ & $\sigma_{N(\theta)}$ \\ \hline
|
|
|
|
|
|
0 & 1 & 860 & 20 \\ \hline
|
|
|
|
|
|
10 & 1 & 847 & 20 \\ \hline
|
|
|
|
|
|
20 & 1 & 743 & 20 \\ \hline
|
|
|
|
|
|
30 & 1 & 672 & 20 \\ \hline
|
|
|
|
|
|
40 & 1 & 623 & 20 \\ \hline
|
|
|
|
|
|
50 & 1 & 521 & 20 \\ \hline
|
|
|
|
|
|
60 & 1 & 461 & 20 \\ \hline
|
|
|
|
|
|
70 & 1 & 427 & 20 \\ \hline
|
|
|
|
|
|
80 & 1 & 376 & 20 \\ \hline
|
|
|
|
|
|
90 & 1 & 343 & 20 \\ \hline
|
|
|
|
|
|
100 & 1 & 315 & 20 \\ \hline
|
|
|
|
|
|
110 & 1 & 288 & 20 \\ \hline
|
|
|
|
|
|
\end{tabular}
|
|
|
|
|
|
\caption{Измерение $N(\theta)$}
|
|
|
|
|
|
\end{center}
|
|
|
|
|
|
\end{table}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{figure}[h]
|
|
|
|
|
|
\centering
|
|
|
|
|
|
\begin{gnuplot}[terminal=epslatex]
|
|
|
|
|
|
set xrange[0:1.4]
|
|
|
|
|
|
set yrange[0:0.0025]
|
|
|
|
|
|
set grid
|
|
|
|
|
|
unset key
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
set mxtics 5
|
|
|
|
|
|
set mytics 5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
set xlabel '$1 - cos \theta$'
|
|
|
|
|
|
set ylabel '$\frac{1}{N(\theta)} - \frac{1}{N(0)}$'
|
|
|
|
|
|
set grid mxtics mytics
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
set multiplot
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
plot 'algos/plot.dat' pt 7 ps 1
|
|
|
|
|
|
plot 1.7670420408213902e-3 * x
|
|
|
|
|
|
\end{gnuplot}
|
|
|
|
|
|
\caption{График зависимости $\frac{1}{N(\theta)} - \frac{1}{N(0)}$ от $1 - cos(\theta)$}
|
|
|
|
|
|
\label{graph}
|
|
|
|
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В итоге: $ A = 0.001767 $.
|
|
|
|
|
|
Теперь, для уменьшения погрешности, мы можем использовать коэффициент $ A $ для вычисления $ N(0) $ и $ N(90) $: $ N(0) = 860 $, $ N(90) = 341 $.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Получаем, что соотношение (\ref{main_eq}) справедливо и эффект Комптона в данном эксперименте имеет место быть.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теперь посчитаем энергию $\gamma$-кванта по формуле, полученной из формулы (\ref{energy}). Получаем формулы для энергии и погрешности
|
|
|
|
|
|
\begin{equation}
|
|
|
|
|
|
E_{\gamma} = mc^2 \frac{N(0) - N(90)}{N(90)} \approx 771.5 \text{ кэВ}
|
|
|
|
|
|
\end{equation}
|
|
|
|
|
|
\begin{equation}
|
|
|
|
|
|
\sigma_{E_{\gamma}} = \sqrt{(\frac{mc^{2}}{N(90)})^{2} \cdot \sigma_{N(90)}^{2} + (\frac{mc^{2}N(0)}{N^{2}(90)})^{2} \cdot \sigma_{N(90)}^{2}} \approx 80.6 \text{ кэВ}
|
|
|
|
|
|
\end{equation}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итого,
|
|
|
|
|
|
\[E_{\gamma} = (771.5 \pm 80.6) \text{ кэВ}\]
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\section{Вывод}
|
|
|
|
|
|
В работе мы исследовали спектр излучения $\gamma$-квантов на графите и получили, что соотношение (\ref{main_eq}), приведенное в теории, справедливо.
|
|
|
|
|
|
Также мы убедились в том, что эффект Комптона в принципе возникает в нашем опыте.
|
|
|
|
|
|
Мы измерили энергию $\gamma$-кванта: $(771.5 \pm 80.6) \text{ кэВ}$.
|
|
|
|
|
|
\end{document}
|
