\documentclass[a4paper, 12pt]{article}%тип документа %отступы \usepackage[left=2cm,right=2cm,top=2cm,bottom=3cm,bindingoffset=0cm]{geometry} %Русский язык \usepackage[T2A]{fontenc} %кодировка \usepackage[utf8]{inputenc} %кодировка исходного кода \usepackage[english,russian]{babel} %локализация и переносы %Вставка картинок \usepackage{wrapfig} \usepackage{graphicx} \graphicspath{{pictures/}} \DeclareGraphicsExtensions{.pdf,.png,.jpg} %оглавление \usepackage{titlesec} \titlespacing{\chapter}{0pt}{-30pt}{12pt} \titlespacing{\section}{\parindent}{5mm}{5mm} \titlespacing{\subsection}{\parindent}{5mm}{5mm} \usepackage{setspace} %Графики \usepackage{multirow} \usepackage{pgfplots} \pgfplotsset{compat=1.9} %Математика \usepackage{amsmath, amsfonts, amssymb, amsthm, mathtools} \usepackage{graphicx,xcolor} \usepackage[cleanup]{gnuplottex} \usepackage{subcaption} \begin{document} \begin{titlepage} \centering \vspace{5cm} {\scshape\LARGE Московский физико-технический институт \par} \vspace{4cm} {\scshape\Large Лабораторная работа 5.1.2 \par} \vspace{1cm} {\huge\bfseries Исследование эффекта Комптона \par} \vspace{12cm} {\LARGE Гришаев Григорий С01-119} \end{titlepage} \newpage \paragraph{Цель работы:} С помощью сцинтилляционного спектрометра исследуется энергетический спектр $\gamma$-квантов, рассеянных на графите. Определяется энергия рассеянных $\gamma$-квантов в зависимости от угла рассеяния, а также энергия покоя частиц, на которых происходит комптоновское рассеяние. \section{Теория} Рассеяние $\gamma$-лучей в веществе относится к числу явлений, в которых особенно ясно проявляется двойственная природа излучения. Волновая теория, хорошо объясняющая рассеяние длинноволнового излучения, испытывает трудности при описании рассеяния рентгеновских и $\gamma$-лучей. Эта теория, в частности, не может объяснить, почему в составе рассеянного излучения, измеренного Комптоном, кроме исходной волны с частотой $\omega_{0}$ появляется дополнительная длинноволновая компонента, отсутствующая в спектре первичного излучения. Появление этой компоненты легко объяснимо, если считать, что $\gamma$-излучение представляет собой поток квантов (фотонов), имеющих энергию $\hbar \omega$ и импульс $p=\hbar \omega / c .$ Эффект Комптона - увеличение длины волны рассеянного излучения по сравнению с падающим - интерпретируется как результат упругого соударения двух частиц: $\gamma$-кванта (фотона) и свободного электрона. Рассмотрим элементарную теорию эффекта Комптона. Пусть электрон до соударения покоился (его энергия равна энергии покоя $m c^{2}$ ), a $\gamma$-квант имел начальную энергию $\hbar \omega_{0}$ и импульс $\hbar \omega_{0} / c .$ После соударения электрон приобретает энергию $\gamma m c^{2}$ и импульс $\gamma m v,$ где $\gamma=$ $=\left(1-\beta^{2}\right)^{-1 / 2}, \beta=v / c,$ a $\gamma$-квант рассеивается на некоторый угол $\theta$ по отношению к первоначальному направлению движения. Энергия и импульс $\gamma$-кванта становятся соответственно равным $\hbar \omega_{1}$ и $\hbar \omega_{1} / c$. Запишем для рассматриваемого процесса законы сохранения энергии и импульса: $$ \begin{array}{c} m c^{2}+\hbar \omega_{0}=\gamma m c^{2}+\hbar \omega_{1} \\ \frac{\hbar \omega_{0}}{c}=\gamma m v \cos \varphi+\frac{\hbar \omega_{1}}{c} \cos \theta \\ \gamma m v \sin \varphi=\frac{\hbar \omega_{1}}{c} \sin \theta \end{array} $$ Решая совместно эти уравнения и переходя от частот $\omega_{0}$ и $\omega_{1}$ к длинам волн $\lambda_{0}$ и $\lambda_{1},$ нетрудно получить, что изменение длины волны рассеянного излучения равно \begin{equation}\label{delta_lambda} \Delta \lambda=\lambda_{1}-\lambda_{0}=\frac{h}{m c}(1-\cos \theta)=\Lambda_{\mathrm{K}}(1-\cos \theta) \end{equation} где $\lambda_{0}$ и $\lambda_{1}$ - длины волн $\gamma$-кванта до и после рассеяния, а величина $$ \Lambda_{\mathrm{K}}=\frac{h}{m c}=2,42 \cdot 10^{-10} \mathrm{cm} $$ Основной целью данной работы является проверка соотношения (\ref{delta_lambda}). Применительно к условиям нашего опыта формулу (\ref{delta_lambda}) следует преобразовать от длин волн к энергии $\gamma$-квантов. Как нетрудно показать, соответствующее выражение имеет вид \begin{equation}\label{energy} \frac{1}{\varepsilon(\theta)}-\frac{1}{\varepsilon_{0}}=1-\cos \theta \end{equation} Здесь $\varepsilon_{0}=E_{0} /\left(m c^{2}\right)-$ выраженная в единицах $m c^{2}$ энергия $\gamma$-квантов, падаюших на рассеиватель, $\varepsilon(\theta)$ - выраженная в тех же единицах энергия квантов, испытавших комптоновское рассеяние на угол $\theta, m-$ масса электрона. \section{Экспериментальная установка} Блок-схема установки изображена на Рис.1. Источником излучения 1 служит $137 \mathrm{Cs},$ испускаюший $\gamma$-лучи с энергией 662 кэВ. Он помещен в толстостенный свинцовый контейнер с коллиматором. Сформированный коллиматором узкий пучок $\gamma$-квантов попадает на графитовую мишень 2 (цилиндр диаметром 40 мм и высотой 100 мм). \begin{figure}[h] \begin{center} \includegraphics[width = \textwidth]{0.jpg} \caption{Экспериментальная установка} \label{setup} \end{center} \end{figure} Кванты, испытавшие комптоновское рассеяние в мишени, регистрируются сцинтилляционным счетчиком, принцип работы которого рассмотрен в работе 5.3. Счетчик состоит из фотоэлектронного умножителя 3 (далее ФЭУ) и сцинтиллятора 4. Сцинтиллятором служит кристалл NaI(Tl) цилиндрической формы диаметром 40 мм и высотой 40 мм, его выходное окно находится в оптическом контакте с фотокатодом ФЭУ. Сигналы, возникающие на аноде ФЭУ, подаются на ЭВМ для амплитудного анализа. Кристалл и ФЭУ расположены в светонепроницаемом блоке, укрепленном на горизонтальной штанге. Штанга вместе с этим блоком может вращаться относительно мишени, угол поворота отсчитывается по лимбу 6. \section{Обработка результатов} Для обработки результатов используется формула (\ref{energy}) с замененными энергиями квантов на $N(\theta)$. \begin{equation}\label{main_eq} \frac{1}{N(\theta)} - \frac{1}{N(0)} = A(1-\cos\theta) \end{equation} \newpage \section{Ход работы} Графики для углов $\theta = 0^0-110^0$ представлены на фотографиях ниже (Рис.\ref{graphs}). \begin{figure}[h] \centering \begin{subfigure}{0.7\textwidth} \includegraphics[width=\linewidth]{1.jpg} \caption{Проверка для $\theta = 0-40^0$} \end{subfigure} \hfill \begin{subfigure}{0.7\textwidth} \includegraphics[width=\linewidth]{2.jpg} \caption{Проверка для $\theta = 50-90^0$} \end{subfigure} \hfill \begin{subfigure}{0.7\textwidth} \includegraphics[width=\linewidth]{3.jpg} \caption{Проверка для $\theta = 100-110^0$} \end{subfigure} \caption{Графики для $\theta = 0 - 90^0$} \label{graphs} \end{figure} Коэффициент $A$ найдем с помощью графика зависимости $1-\cos \theta$ от $\frac{1}{N(\theta)} - \frac{1}{N(0)}$. В таблицу занесем все измеренные величины: \begin{table}[h!] \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline $\theta$, $^0$ & $\sigma_{\theta}$, $^0$ & $N(\theta)$ & $\sigma_{N(\theta)}$ \\ \hline 0 & 1 & 860 & 20 \\ \hline 10 & 1 & 847 & 20 \\ \hline 20 & 1 & 743 & 20 \\ \hline 30 & 1 & 672 & 20 \\ \hline 40 & 1 & 623 & 20 \\ \hline 50 & 1 & 521 & 20 \\ \hline 60 & 1 & 461 & 20 \\ \hline 70 & 1 & 427 & 20 \\ \hline 80 & 1 & 376 & 20 \\ \hline 90 & 1 & 343 & 20 \\ \hline 100 & 1 & 315 & 20 \\ \hline 110 & 1 & 288 & 20 \\ \hline \end{tabular} \caption{Измерение $N(\theta)$} \end{center} \end{table} \begin{figure}[h] \centering \begin{gnuplot}[terminal=epslatex] set xrange[0:1.4] set yrange[0:0.0025] set grid unset key set mxtics 5 set mytics 5 set xlabel '$1 - cos \theta$' set ylabel '$\frac{1}{N(\theta)} - \frac{1}{N(0)}$' set grid mxtics mytics set multiplot plot 'algos/plot.dat' pt 7 ps 1 plot 1.7670420408213902e-3 * x \end{gnuplot} \caption{График зависимости $\frac{1}{N(\theta)} - \frac{1}{N(0)}$ от $1 - cos(\theta)$} \label{graph} \end{figure} В итоге: $ A = 0.001767 $. Теперь, для уменьшения погрешности, мы можем использовать коэффициент $ A $ для вычисления $ N(0) $ и $ N(90) $: $ N(0) = 860 $, $ N(90) = 341 $. Получаем, что соотношение (\ref{main_eq}) справедливо и эффект Комптона в данном эксперименте имеет место быть. Теперь посчитаем энергию $\gamma$-кванта по формуле, полученной из формулы (\ref{energy}). Получаем формулы для энергии и погрешности \begin{equation} E_{\gamma} = mc^2 \frac{N(0) - N(90)}{N(90)} \approx 771.5 \text{ кэВ} \end{equation} \begin{equation} \sigma_{E_{\gamma}} = \sqrt{(\frac{mc^{2}}{N(90)})^{2} \cdot \sigma_{N(90)}^{2} + (\frac{mc^{2}N(0)}{N^{2}(90)})^{2} \cdot \sigma_{N(90)}^{2}} \approx 80.6 \text{ кэВ} \end{equation} Итого, \[E_{\gamma} = (771.5 \pm 80.6) \text{ кэВ}\] \section{Вывод} В работе мы исследовали спектр излучения $\gamma$-квантов на графите и получили, что соотношение (\ref{main_eq}), приведенное в теории, справедливо. Также мы убедились в том, что эффект Комптона в принципе возникает в нашем опыте. Мы измерили энергию $\gamma$-кванта: $(771.5 \pm 80.6) \text{ кэВ}$. \end{document}