You cannot select more than 25 topics Topics must start with a letter or number, can include dashes ('-') and can be up to 35 characters long.
This repo is archived. You can view files and clone it, but cannot push or open issues/pull-requests.

273 lines
20 KiB
TeX

This file contains ambiguous Unicode characters!

This file contains ambiguous Unicode characters that may be confused with others in your current locale. If your use case is intentional and legitimate, you can safely ignore this warning. Use the Escape button to highlight these characters.

\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage{cmap}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[warn]{mathtext}
\usepackage{epsf,amsmath,amsfonts,amssymb,amsbsy}
\usepackage[mathscr]{eucal}
\usepackage[english, russian]{babel}
\usepackage{gnuplottex}
\author{Гришаев Григорий С01-119}
\title{Отчёт о выполнении лабораторной работы 2.1.1}
\usepackage[left=2cm,right=2cm,top=2cm,bottom=2cm]{geometry}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{indentfirst}
\graphicspath{{images/}}
\DeclareGraphicsExtensions{.pdf,.png,.jpg}
\usepackage{pgfplots}
\begin{document}
\maketitle
\begin{center}
{\Large Измерение удельной теплоёмкости воздуха при постоянном давлении}
\end{center}
\paragraph*{Цель работы:}измерить повышение температуры воздуха в зависимости от мощности подводимого тепла и расхода при стационарном течении через трубу; исключив тепловые потери, по результатам измерений определить теплоёмкость воздуха при постоянном давлении
\paragraph*{В работе используются:}теплоизолированная стеклянная трубка; электронагреватель; источник питания постоянного тока; амперметр, вольтметр (цифровые мультиметры); термопара, подключенная к микровольтметру; компрессор; газовый счётчик; секундомер.
\section{Теоретические сведения}
Определение теплоёмкости обычно производится в калориметрах. При этом регистрируется количество тепла {Q}, полученное телом, и изменение температуры этого тела $ {\Delta T} $.
Теплоёмкость тела определяется как их отношение:
\begin{equation}
\label{eq1}
C = \frac{\delta Q}{dT} \;
\end{equation}
Необходимо, чтобы количество тепла, затрачиваемое на нагревание исследуемого тела, существенно превосходило тепло, расходуемое на нагревание самого калориметра, а также на потери тепла из установки.
Для увеличения количества нагреваемого газа при неизменных размерах установки в нашей работе исследуемый газ (воздух) продувается через калориметр, внутри которого установлен нагреватель. При этом измеряются мощность нагревателя, масса воздуха, протекающего в единицу времени (расход), и приращение его температуры.
Рассмотрим газ, протекающий стационарно слева направо через трубу постоянного сечения, в которой установлен нагревательный элемент (см. рис. 1). Пусть за некоторое время $ dT $ через калориметр прошла малая порция газа массой $ dm = qdt $, где $ q $ [кг/с] — массовый расход газа в трубе. Если мощность нагрева равна $ N $, мощность тепловых потерь на обмен с окружающей средой $ N_{пот} $, то порция получила тепло $ \delta Q = (N - N_{пот})dt $. С другой стороны, по определению теплоёмкости \ref{eq1}, $ \delta Q = c dm \Delta T$, где $ \Delta T = T_{2} - T_{1}$ - приращение температуры газа, и $ c $ — удельная (на единицу массы) теплоёмкость газа в рассматриваемом процессе. При малых расходах газа и достаточно большом диаметре трубы перепад давления на её концах мал, поэтому можно принять, что $ P_{1} \approx P_{2} = P_{0} $, где $ P_{0} $ — атмосферное давление. Следовательно, в условиях опыта измеряется удельная теплоёмкость при постоянном давлении $ c_{p} $. Таким образом, получаем
\begin{equation}
\label{eq2}
c_{p} = \frac{N - N_{пот}}{q \Delta T};
\end{equation}
\begin{figure}[h!]
\center{\includegraphics[width=0.5\linewidth]{1}}
\caption{Нагрев газа при течении по трубе}
\end{figure}
\subsection{Экспериментальная установка:}
Схема установки изображена на рис.2. Воздух, нагнетаемый компрессором, прокачивается через калориметр. Калориметр представляет собой стеклянную цилиндрическую трубку с двойными стенками, запаянными с торцов.
\begin{figure}[h]
\center{\includegraphics{3}}
\caption{Схема экспериментальной установки}
\end{figure}
Нагреватель в виде намотанной на пенопласт нихромовой проволоки расположен внутри калориметра непосредственно в воздушном потоке. Нагрев проволоки производится от регулируемого источника постоянного тока (ИП).
Напряжение $U$ на нагревателе и ток $I$ через него регистрируются цифровыми мультиметрами. Таким образом, мощность нагрева равна
\begin{equation}
\label{eq3}
N= UI \;
\end{equation}
Для измерения разности температур $\Delta T$ служит медно-константановая
термопара. Один спай термопары расположен в струе воздуха, входящего в
калориметр, и находится при комнатной температуре, а второй — в струе выходящего нагретого воздуха. Константановая проволока термопары расположена внутри калориметра, а медные проводники подключены к цифровому вольтметру. Возникающая в термопаре ЭДС $\varepsilon$ пропорциональна разности температур $\Delta T$ спаев:
\begin{equation}
\label{eq4}
\varepsilon =\beta \Delta T \;
\end{equation}
где $\beta = 40.7 \frac{мкВ}{^\circ C}$ — чувствительность медно-константановой термопары в рабочем диапазоне температур (2030 $^\circ C$ ). ЭДС регистрируется с помощью микровольтметра.
Объём воздуха, прошедшего через калориметр, измеряется газовым счётчиком ГС. Для регулировки расхода служит кран К. Время $ \Delta t $ прохождения некоторого объема $ \Delta V $ воздуха измеряется секундомером. Объёмный расход равен $ \Delta V/\Delta T $, массовый расход может быть найден как
\begin{equation}
\label{eq5}
q = \rho_{o}\frac{\Delta V}{\Delta t} \;
\end{equation}
где $ \rho_{0} $ — плотность воздуха при комнатной температуре, которая в свою очередь может быть получена из уравнения Менделеева–Клапейрона: $ \rho_{0} = \frac{\mu P_{0}}{R T_{0}} $, где $ P_{0} $ — атмосферное давление, $ T_{0} $ — комнатная температура (в Кельвинах), $ \mu $= 29,0 г/моль — средняя молярная масса (сухого) воздуха.
Учитывая особенности устройства калориметра, следует ожидать, что мощность нагревателя расходуется не только на нагрев массы прокачиваемого воздуха, но и частично теряется за счет нагрева внутренних стенок термостата и рассеяния тепла через торцы термостата. Можно предположить, что при небольшом нагреве ($ \Delta T << T_{0} $) мощность потерь тепла $ N_{пот} $ прямо
пропорциональна разности температур:
\begin{equation}
\label{eq6}
N_{пот} = \alpha \Delta T \;
\end{equation}
где $ \alpha $ — некоторая константа. При этом условии основное соотношение \ref{eq2} принимает вид
\begin{equation}
\label{eq7}
N = (c_{p}q + \alpha)\Delta T \;
\end{equation}
Следовательно, при фиксированном расходе воздуха ($ q $ = const) подводимая мощность и разность температур связаны прямой пропорциональностью ($ \Delta T{N} $ — линейная функция).
\subsection{Оборудование и инструментальные погрешности}
Для измерения $ \varepsilon $ использовался вольтметр универсальный В7-78/1, его абсолютная погрешность равна $ \pm (0.005 \frac{\varepsilon}{100} + 3.5) \; мкВ$.
Для измерения $ U $ использовался цифровой универсальный вольтметр GDM-8145, абсолютная погрешность которого равна $ \pm (0.0003U \pm 4 \; мВ) $.
Его же мы использовали для измерения $ I $, абсолютная погрешность: $ \pm (0.002I+20 \; мкА) $.
\subsection{Ход работы}
\begin{enumerate}
\item Запишем показания комнатной температуры, давления и влажности воздуха.
\begin{table}[h]
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
& Значение & $ \sigma $ \\
\hline
$ T_{0} $, К & 295.45 & 0.1 \\
\hline
$ p $, Па & 99375.15 & 1 \\
\hline
$ \phi $ & 64\% & 1\% \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}
Рассчитываем плотность воздуха $ \rho_{0} $:
$$ \rho_{0} = \frac{2.9 * 10^{-3}*99375.15}{8.31*295.45} \approx 1.17 \; кг/м^{3} $$
Относительную погрешность вычисления плотности воздуха вычислим по формуле:
$$ \frac{\sigma_{\rho_{0}}}{\rho_{0}} = \sqrt{(\frac{\sigma_{P_{0}}}{P_{0}})^{2}+(\frac{\sigma_{\phi}}{\phi})^{2}+(\frac{\sigma_{T}}{T})^{2}} $$
$$ \Rightarrow \sigma_{\rho_{0}} = 0.018 \; \frac{кг}{м^{3}} $$
\item Рассчитываем теоретическую теплоемкость воздуха при постоянном давлении (в предположении, что воздух - смесь двух идеальных двухатомных газов):
$$ C_{p} = \frac{7}{2}R \approx 29.09 \; \frac{Дж}{моль*К} $$
$$ C_{p}^{\mu} = \frac{C_{p}}{\mu} \approx 1 \; \frac{Дж}{г*К} $$
\item С помощью газового счетчика и секундомера измерим расход воздуха для двух случаев, пользуясь формулой \ref{eq5} ($ q_{1} $ и $ q_{2} $). Результаты измерений представлены в таблице.
\begin{table}[h]
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
$ \Delta V $, л & $ \Delta t $, с & $ \frac{\Delta V}{\Delta t} \; , \frac{л}{с} $ & $ q_{1} \; , \frac{г}{с}$ & $ \sigma_{q_{1}кос}, \; \frac{г}{с}*10^{-3} $\\
\hline
5 & 24.9 & 0.2 & 0.234 & 0.47 \\
\hline
5 & 25.6 & 0.2 & 0.234 & 0.47 \\
\hline
5 & 26.0 & 0.19 & 0.222 & 0.45 \\
\hline
\end{tabular}
\caption{Измерение $ q_{1} $}
\end{center}
\end{table}
\begin{table}[h]
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
$ \Delta V $, л & $ \Delta t $, с & $ \frac{\Delta V}{\Delta t} \; , \frac{л}{с} $ & $ q_{2} \; , \frac{г}{с}$ & $ \sigma_{q_{2}кос}, \; \frac{г}{с}*10^{-3} $ \\
\hline
5 & 32.7 & 0.15 & 0.176 & 0.35 \\
\hline
5 & 33.1 & 0.15 & 0.176 & 0.35 \\
\hline
5 & 33.2 & 0.15 & 0.176 & 0.35 \\
\hline
\end{tabular}
\caption{Измерение $ q_{2} $}
\end{center}
\end{table}
Итого, $ q_{1} = \overline{q_{1}} = 0.23 \; г/с $, $ q_{2} = \overline{q_{2}} = 0.176 \; г/с $.
Вычислим случайную погрешность измерения $ q $:
$$ \sigma_{q} = \sqrt{\frac{1}{n(n-1)}\sum_{i=1}^{n}(q_{i}-\overline q)^{2}} $$
Итак, $ \sigma_{q_{1}} = 4*10^{-3} \; \frac{г}{с} $, $ \sigma_{q_{2}} \approx 0\; \frac{г}{с} $
Вычислим величину относительной косвенной погрешности измерения $ q_{1} $ и $ q_{2} $:
$$ \frac{\sigma_{ос}}{q} = \sqrt{(\frac{\sigma_{T_{0}}}{T_{0}})^{2} + (\frac{\sigma_{P_{0}}}{P_{0}})^{2} + (\frac{\sigma_{t}}{t})^{2}} $$
Косвенная погрешность для среднего значения $ q $: $ \sigma_{q_{1}кос} = 0.00046 \; \frac{г}{с} $, $ \sigma_{q_{2}кос} = 0.00035 \; \frac{г}{с}$
Суммарная погрешность:
$$ \sigma_{\overline{q}} = \sqrt{(\sigma_{q})^{2}+(\sigma_{ос})^2 } $$
$$ \sigma_{\overline{q_{1}}} = 0.0006 \; \frac{г}{с} $$
$$ \sigma_{\overline{q_{2}}} = 0.0004 \; \frac{г}{с} $$
\item Оценим величину тока нагревателя $ I_{0} $, требуемого для нагрева воздуха на $ \delta Q = 1К $. Оценим минимальную мощность $ N_{0} $, необходимую для нагрева газа при максимальном расходе $ N_{0} = c_{p}q\Delta T \approx 0.23 \; Вт $ в первом случае, $ N_{0} = c_{p}q\Delta T \approx 0.176 \; Вт $ во втором случае.
Учитывая, что сопротивление проволоки нагревателя составляет приблизительно $ R_{н} \approx 35 \; Ом $ и в процессе опыта практически не меняется, искомое значение тока: $ I_{0}=\sqrt{\frac{N_{0}}{R_{н}}} \approx 0.08 \; А $ (в первом случае), $ I_{0}=\sqrt{\frac{N_{0}}{R_{н}}} \approx 0.07 \; А $(во втором случае).
\item Зафиксируем $ \Delta T(N) $ для двух значений $ q $ (между измерениями калориметр надлежит остудить):
$ q_{1} = 0.236 \; г/с $, $ q_{2} = 0.179 \; г/с $.
\begin{table}[h]
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
$U, В$ & $I, мА$ & $ N $, Вт & $ \varepsilon, мкВ $ & $ \Delta T, К $ \\
\hline
6.105 & 169.81 & 1.0367 & 154 & 3.78 \\
\hline
5.576 & 155.02 & 0.8644 & 127 & 3.12 \\
\hline
5.334 & 148.46 & 0.7919 & 120 & 2.95 \\
\hline
4.947 & 133.77 & 0.6618 & 102 & 2.51 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\caption{Зависимость $ \Delta T(N)$ для $ q_{1} $}
\end{table}
\begin{table}[h]
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
$U, В$ & $I, мА$ & $ N $, Вт & $ \varepsilon, мкВ $ & $ \Delta T, К $ \\
\hline
5.934 & 165.82 & 0.984 & 186 & 4.57 \\
\hline
5.021 & 140.4 & 0.7049 &131 & 3.22 \\
\hline
4.572 & 127.83 & 0.5844 & 108 & 2.65 \\
\hline
4.231 & 118.3 & 0.5005 & 93 & 2.29 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\caption{Зависимость $ \Delta T(N)$ для $ q_{2} $}
\end{table}
\end{enumerate}
\subsection{Обработка данных}
Построим на одном графике зависимости $ \Delta T(N) $ при $ q_{1} $ и $ q_{2} $.
Коэффициент аппроксимирующей прямой найдем по формуле $$ k = \frac{\overline{\Delta T N}}{\overline{N^{2}}} $$
Итого, $ k_{1} = 3.68 $, $ k_{2} = 4.6 $.
$$ \sigma_{k} = \sqrt{\frac{1}{n-1}(\frac{\overline{\Delta T^{2}}}{\overline{N^{2}}}-k^{2})} $$
$$ \sigma_{k_{1}} \approx 0.023 \; \frac{К}{Вт} $$, $$ \sigma_{k_{2}} \approx 0.0188 \; \frac{К}{Вт} $$
\begin{figure}[h!]
\centering
\begin{gnuplot}[terminal=epslatex]
set grid
set xlabel '$ N $, Вт'
set ylabel '$ \Delta T $, C'
set multiplot
set yrange [0:1500]
set xrange [0:7]
set key spacing 2
set key bottom right
set key off
set style line 1 lt 1 pt 7 ps 0.5 lc rgb "red"
set style line 2 lt 1 pt 7 ps 0.5 lc rgb "blue"
set style line 4 lc black
set key box linestyle 4
set key opaque Left
plot "2.1.3(22.8).data" using 1:2 notitle linestyle 1
\end{gnuplot}
\end{figure}
Воспользуемся соотношениями $ C_{p}q_{1} + \alpha = \frac{1}{k_{1}}, \; C_{p}q_{2} + \alpha = \frac{1}{k_{2}} $, откуда имеем
$$ C_{p} = \frac{k_{2}-k_{1}}{k_{2}k_{1}(q_{1}-q_{2})} $$
$$ \alpha = \frac{1}{k_{1}} - C_{p}q_{1} $$
Отсюда имеем: $ C_{p} \approx 1.006 \; \frac{Дж}{г*К} $, $ \alpha \approx 0.042 \; \frac{Вт}{К} $
Определим долю тепловых потерь: $ \frac{N_{пот}}{N} = \frac{\alpha}{C_{p}q + \alpha}$.
$$ \frac{N_{пот}}{N_{1}} \approx 0.153$$
$$ \frac{N_{пот}}{N_{2}} \approx 0.189$$
Определим погрешность измерения $ C_{p} $:
$$ \sigma_{C_{p}} = \sqrt{(\frac{\sigma_{k_{1}}}{k_{1}^{2}(q_{1}-q_{2})})^{2}+(\frac{\sigma_{k_{2}}}{k_{2}^{2}(q_{1}-q_{2})})^{2}+ (\frac{k_{2}-k_{1}}{k_{2}k_{1}(q_{1}-q_{2})^{2}})^{2}(\sigma_{q_{1}}^{2}+\sigma_{q_{2}}^{2})^{2}} $$
Итого, $\sigma_{C_{p}} \approx 0.165 \;\frac{Дж}{г*К}$
$$ \sigma_{\alpha} = \sqrt{(\frac{\sigma_{k_{1}}}{k_{1}^{2}})^{2} + (q_{1}\sigma_{C_{p}})^{2} + (C_{p}\sigma_{q_{1}})^{2} } \approx 0.002 \; \frac{Вт}{К} $$
$$ \frac{\sigma_{N_{пот}}}{N} = \frac{1}{(C_{p}q+\alpha)^{2}}\sqrt{(C_{p}q\sigma_{\alpha})^{2}+(\alpha q \sigma_{C_{p}})^{2} + (\alpha C_{p} \sigma_{q})^{2} }$$
$$ \frac{\sigma_{N_{пот}}}{N_{1}} \approx 0.0217, \; \frac{\sigma_{N_{пот}}}{N_{2}} \approx 0.0257 $$
\subsection{Обсуждение результатов}
Полученное значение $ C_{p} = 1.006 \pm 0.165 \; \frac{Дж}{г*К} $ практически совпадает с табличным $ C_{p}^{табл} = 1.004 \; \frac{Дж}{г*К} $
Предположение о линейной зависимости $ \Delta T (N) $ подтвердилось.
\subsection{Вывод}
Экспериментальным путем мы смогли определить крайне близкое к реальному значение удельной теплоемкости воздуха при постоянном давлении.
\end{document}