\documentclass[a4paper,12pt]{article} \usepackage{cmap} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[warn]{mathtext} \usepackage{epsf,amsmath,amsfonts,amssymb,amsbsy} \usepackage[mathscr]{eucal} \usepackage[english, russian]{babel} \usepackage{gnuplottex} \author{Гришаев Григорий С01-119} \title{Отчёт о выполнении лабораторной работы 2.1.1} \usepackage[left=2cm,right=2cm,top=2cm,bottom=2cm]{geometry} \usepackage{graphicx} \usepackage{indentfirst} \graphicspath{{images/}} \DeclareGraphicsExtensions{.pdf,.png,.jpg} \usepackage{pgfplots} \begin{document} \maketitle \begin{center} {\Large Измерение удельной теплоёмкости воздуха при постоянном давлении} \end{center} \paragraph*{Цель работы:}измерить повышение температуры воздуха в зависимости от мощности подводимого тепла и расхода при стационарном течении через трубу; исключив тепловые потери, по результатам измерений определить теплоёмкость воздуха при постоянном давлении \paragraph*{В работе используются:}теплоизолированная стеклянная трубка; электронагреватель; источник питания постоянного тока; амперметр, вольтметр (цифровые мультиметры); термопара, подключенная к микровольтметру; компрессор; газовый счётчик; секундомер. \section{Теоретические сведения} Определение теплоёмкости обычно производится в калориметрах. При этом регистрируется количество тепла {Q}, полученное телом, и изменение температуры этого тела $ {\Delta T} $. Теплоёмкость тела определяется как их отношение: \begin{equation} \label{eq1} C = \frac{\delta Q}{dT} \; \end{equation} Необходимо, чтобы количество тепла, затрачиваемое на нагревание исследуемого тела, существенно превосходило тепло, расходуемое на нагревание самого калориметра, а также на потери тепла из установки. Для увеличения количества нагреваемого газа при неизменных размерах установки в нашей работе исследуемый газ (воздух) продувается через калориметр, внутри которого установлен нагреватель. При этом измеряются мощность нагревателя, масса воздуха, протекающего в единицу времени (расход), и приращение его температуры. Рассмотрим газ, протекающий стационарно слева направо через трубу постоянного сечения, в которой установлен нагревательный элемент (см. рис. 1). Пусть за некоторое время $ dT $ через калориметр прошла малая порция газа массой $ dm = qdt $, где $ q $ [кг/с] — массовый расход газа в трубе. Если мощность нагрева равна $ N $, мощность тепловых потерь на обмен с окружающей средой $ N_{пот} $, то порция получила тепло $ \delta Q = (N - N_{пот})dt $. С другой стороны, по определению теплоёмкости \ref{eq1}, $ \delta Q = c dm \Delta T$, где $ \Delta T = T_{2} - T_{1}$ - приращение температуры газа, и $ c $ — удельная (на единицу массы) теплоёмкость газа в рассматриваемом процессе. При малых расходах газа и достаточно большом диаметре трубы перепад давления на её концах мал, поэтому можно принять, что $ P_{1} \approx P_{2} = P_{0} $, где $ P_{0} $ — атмосферное давление. Следовательно, в условиях опыта измеряется удельная теплоёмкость при постоянном давлении $ c_{p} $. Таким образом, получаем \begin{equation} \label{eq2} c_{p} = \frac{N - N_{пот}}{q \Delta T}; \end{equation} \begin{figure}[h!] \center{\includegraphics[width=0.5\linewidth]{1}} \caption{Нагрев газа при течении по трубе} \end{figure} \subsection{Экспериментальная установка:} Схема установки изображена на рис.2. Воздух, нагнетаемый компрессором, прокачивается через калориметр. Калориметр представляет собой стеклянную цилиндрическую трубку с двойными стенками, запаянными с торцов. \begin{figure}[h] \center{\includegraphics{3}} \caption{Схема экспериментальной установки} \end{figure} Нагреватель в виде намотанной на пенопласт нихромовой проволоки расположен внутри калориметра непосредственно в воздушном потоке. Нагрев проволоки производится от регулируемого источника постоянного тока (ИП). Напряжение $U$ на нагревателе и ток $I$ через него регистрируются цифровыми мультиметрами. Таким образом, мощность нагрева равна \begin{equation} \label{eq3} N= UI \; \end{equation} Для измерения разности температур $\Delta T$ служит медно-константановая термопара. Один спай термопары расположен в струе воздуха, входящего в калориметр, и находится при комнатной температуре, а второй — в струе выходящего нагретого воздуха. Константановая проволока термопары расположена внутри калориметра, а медные проводники подключены к цифровому вольтметру. Возникающая в термопаре ЭДС $\varepsilon$ пропорциональна разности температур $\Delta T$ спаев: \begin{equation} \label{eq4} \varepsilon =\beta \Delta T \; \end{equation} где $\beta = 40.7 \frac{мкВ}{^\circ C}$ — чувствительность медно-константановой термопары в рабочем диапазоне температур (20–30 $^\circ C$ ). ЭДС регистрируется с помощью микровольтметра. Объём воздуха, прошедшего через калориметр, измеряется газовым счётчиком ГС. Для регулировки расхода служит кран К. Время $ \Delta t $ прохождения некоторого объема $ \Delta V $ воздуха измеряется секундомером. Объёмный расход равен $ \Delta V/\Delta T $, массовый расход может быть найден как \begin{equation} \label{eq5} q = \rho_{o}\frac{\Delta V}{\Delta t} \; \end{equation} где $ \rho_{0} $ — плотность воздуха при комнатной температуре, которая в свою очередь может быть получена из уравнения Менделеева–Клапейрона: $ \rho_{0} = \frac{\mu P_{0}}{R T_{0}} $, где $ P_{0} $ — атмосферное давление, $ T_{0} $ — комнатная температура (в Кельвинах), $ \mu $= 29,0 г/моль — средняя молярная масса (сухого) воздуха. Учитывая особенности устройства калориметра, следует ожидать, что мощность нагревателя расходуется не только на нагрев массы прокачиваемого воздуха, но и частично теряется за счет нагрева внутренних стенок термостата и рассеяния тепла через торцы термостата. Можно предположить, что при небольшом нагреве ($ \Delta T << T_{0} $) мощность потерь тепла $ N_{пот} $ прямо пропорциональна разности температур: \begin{equation} \label{eq6} N_{пот} = \alpha \Delta T \; \end{equation} где $ \alpha $ — некоторая константа. При этом условии основное соотношение \ref{eq2} принимает вид \begin{equation} \label{eq7} N = (c_{p}q + \alpha)\Delta T \; \end{equation} Следовательно, при фиксированном расходе воздуха ($ q $ = const) подводимая мощность и разность температур связаны прямой пропорциональностью ($ \Delta T{N} $ — линейная функция). \subsection{Оборудование и инструментальные погрешности} Для измерения $ \varepsilon $ использовался вольтметр универсальный В7-78/1, его абсолютная погрешность равна $ \pm (0.005 \frac{\varepsilon}{100} + 3.5) \; мкВ$. Для измерения $ U $ использовался цифровой универсальный вольтметр GDM-8145, абсолютная погрешность которого равна $ \pm (0.0003U \pm 4 \; мВ) $. Его же мы использовали для измерения $ I $, абсолютная погрешность: $ \pm (0.002I+20 \; мкА) $. \subsection{Ход работы} \begin{enumerate} \item Запишем показания комнатной температуры, давления и влажности воздуха. \begin{table}[h] \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|} \hline & Значение & $ \sigma $ \\ \hline $ T_{0} $, К & 295.45 & 0.1 \\ \hline $ p $, Па & 99375.15 & 1 \\ \hline $ \phi $ & 64\% & 1\% \\ \hline \end{tabular} \end{center} \end{table} Рассчитываем плотность воздуха $ \rho_{0} $: $$ \rho_{0} = \frac{2.9 * 10^{-3}*99375.15}{8.31*295.45} \approx 1.17 \; кг/м^{3} $$ Относительную погрешность вычисления плотности воздуха вычислим по формуле: $$ \frac{\sigma_{\rho_{0}}}{\rho_{0}} = \sqrt{(\frac{\sigma_{P_{0}}}{P_{0}})^{2}+(\frac{\sigma_{\phi}}{\phi})^{2}+(\frac{\sigma_{T}}{T})^{2}} $$ $$ \Rightarrow \sigma_{\rho_{0}} = 0.018 \; \frac{кг}{м^{3}} $$ \item Рассчитываем теоретическую теплоемкость воздуха при постоянном давлении (в предположении, что воздух - смесь двух идеальных двухатомных газов): $$ C_{p} = \frac{7}{2}R \approx 29.09 \; \frac{Дж}{моль*К} $$ $$ C_{p}^{\mu} = \frac{C_{p}}{\mu} \approx 1 \; \frac{Дж}{г*К} $$ \item С помощью газового счетчика и секундомера измерим расход воздуха для двух случаев, пользуясь формулой \ref{eq5} ($ q_{1} $ и $ q_{2} $). Результаты измерений представлены в таблице. \begin{table}[h] \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|} \hline $ \Delta V $, л & $ \Delta t $, с & $ \frac{\Delta V}{\Delta t} \; , \frac{л}{с} $ & $ q_{1} \; , \frac{г}{с}$ & $ \sigma_{q_{1}кос}, \; \frac{г}{с}*10^{-3} $\\ \hline 5 & 24.9 & 0.2 & 0.234 & 0.47 \\ \hline 5 & 25.6 & 0.2 & 0.234 & 0.47 \\ \hline 5 & 26.0 & 0.19 & 0.222 & 0.45 \\ \hline \end{tabular} \caption{Измерение $ q_{1} $} \end{center} \end{table} \begin{table}[h] \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|} \hline $ \Delta V $, л & $ \Delta t $, с & $ \frac{\Delta V}{\Delta t} \; , \frac{л}{с} $ & $ q_{2} \; , \frac{г}{с}$ & $ \sigma_{q_{2}кос}, \; \frac{г}{с}*10^{-3} $ \\ \hline 5 & 32.7 & 0.15 & 0.176 & 0.35 \\ \hline 5 & 33.1 & 0.15 & 0.176 & 0.35 \\ \hline 5 & 33.2 & 0.15 & 0.176 & 0.35 \\ \hline \end{tabular} \caption{Измерение $ q_{2} $} \end{center} \end{table} Итого, $ q_{1} = \overline{q_{1}} = 0.23 \; г/с $, $ q_{2} = \overline{q_{2}} = 0.176 \; г/с $. Вычислим случайную погрешность измерения $ q $: $$ \sigma_{q} = \sqrt{\frac{1}{n(n-1)}\sum_{i=1}^{n}(q_{i}-\overline q)^{2}} $$ Итак, $ \sigma_{q_{1}} = 4*10^{-3} \; \frac{г}{с} $, $ \sigma_{q_{2}} \approx 0\; \frac{г}{с} $ Вычислим величину относительной косвенной погрешности измерения $ q_{1} $ и $ q_{2} $: $$ \frac{\sigma_{qкос}}{q} = \sqrt{(\frac{\sigma_{T_{0}}}{T_{0}})^{2} + (\frac{\sigma_{P_{0}}}{P_{0}})^{2} + (\frac{\sigma_{t}}{t})^{2}} $$ Косвенная погрешность для среднего значения $ q $: $ \sigma_{q_{1}кос} = 0.00046 \; \frac{г}{с} $, $ \sigma_{q_{2}кос} = 0.00035 \; \frac{г}{с}$ Суммарная погрешность: $$ \sigma_{\overline{q}} = \sqrt{(\sigma_{q})^{2}+(\sigma_{qкос})^2 } $$ $$ \sigma_{\overline{q_{1}}} = 0.0006 \; \frac{г}{с} $$ $$ \sigma_{\overline{q_{2}}} = 0.0004 \; \frac{г}{с} $$ \item Оценим величину тока нагревателя $ I_{0} $, требуемого для нагрева воздуха на $ \delta Q = 1К $. Оценим минимальную мощность $ N_{0} $, необходимую для нагрева газа при максимальном расходе $ N_{0} = c_{p}q\Delta T \approx 0.23 \; Вт $ в первом случае, $ N_{0} = c_{p}q\Delta T \approx 0.176 \; Вт $ во втором случае. Учитывая, что сопротивление проволоки нагревателя составляет приблизительно $ R_{н} \approx 35 \; Ом $ и в процессе опыта практически не меняется, искомое значение тока: $ I_{0}=\sqrt{\frac{N_{0}}{R_{н}}} \approx 0.08 \; А $ (в первом случае), $ I_{0}=\sqrt{\frac{N_{0}}{R_{н}}} \approx 0.07 \; А $(во втором случае). \item Зафиксируем $ \Delta T(N) $ для двух значений $ q $ (между измерениями калориметр надлежит остудить): $ q_{1} = 0.236 \; г/с $, $ q_{2} = 0.179 \; г/с $. \begin{table}[h] \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|} \hline $U, В$ & $I, мА$ & $ N $, Вт & $ \varepsilon, мкВ $ & $ \Delta T, К $ \\ \hline 6.105 & 169.81 & 1.0367 & 154 & 3.78 \\ \hline 5.576 & 155.02 & 0.8644 & 127 & 3.12 \\ \hline 5.334 & 148.46 & 0.7919 & 120 & 2.95 \\ \hline 4.947 & 133.77 & 0.6618 & 102 & 2.51 \\ \hline \end{tabular} \end{center} \caption{Зависимость $ \Delta T(N)$ для $ q_{1} $} \end{table} \begin{table}[h] \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|} \hline $U, В$ & $I, мА$ & $ N $, Вт & $ \varepsilon, мкВ $ & $ \Delta T, К $ \\ \hline 5.934 & 165.82 & 0.984 & 186 & 4.57 \\ \hline 5.021 & 140.4 & 0.7049 &131 & 3.22 \\ \hline 4.572 & 127.83 & 0.5844 & 108 & 2.65 \\ \hline 4.231 & 118.3 & 0.5005 & 93 & 2.29 \\ \hline \end{tabular} \end{center} \caption{Зависимость $ \Delta T(N)$ для $ q_{2} $} \end{table} \end{enumerate} \subsection{Обработка данных} Построим на одном графике зависимости $ \Delta T(N) $ при $ q_{1} $ и $ q_{2} $. Коэффициент аппроксимирующей прямой найдем по формуле $$ k = \frac{\overline{\Delta T N}}{\overline{N^{2}}} $$ Итого, $ k_{1} = 3.68 $, $ k_{2} = 4.6 $. $$ \sigma_{k} = \sqrt{\frac{1}{n-1}(\frac{\overline{\Delta T^{2}}}{\overline{N^{2}}}-k^{2})} $$ $$ \sigma_{k_{1}} \approx 0.023 \; \frac{К}{Вт} $$, $$ \sigma_{k_{2}} \approx 0.0188 \; \frac{К}{Вт} $$ \begin{figure}[h!] \centering \begin{gnuplot}[terminal=epslatex] set grid set xlabel '$ N $, Вт' set ylabel '$ \Delta T $, C' set multiplot set yrange [0:1500] set xrange [0:7] set key spacing 2 set key bottom right set key off set style line 1 lt 1 pt 7 ps 0.5 lc rgb "red" set style line 2 lt 1 pt 7 ps 0.5 lc rgb "blue" set style line 4 lc black set key box linestyle 4 set key opaque Left plot "2.1.3(22.8).data" using 1:2 notitle linestyle 1 \end{gnuplot} \end{figure} Воспользуемся соотношениями $ C_{p}q_{1} + \alpha = \frac{1}{k_{1}}, \; C_{p}q_{2} + \alpha = \frac{1}{k_{2}} $, откуда имеем $$ C_{p} = \frac{k_{2}-k_{1}}{k_{2}k_{1}(q_{1}-q_{2})} $$ $$ \alpha = \frac{1}{k_{1}} - C_{p}q_{1} $$ Отсюда имеем: $ C_{p} \approx 1.006 \; \frac{Дж}{г*К} $, $ \alpha \approx 0.042 \; \frac{Вт}{К} $ Определим долю тепловых потерь: $ \frac{N_{пот}}{N} = \frac{\alpha}{C_{p}q + \alpha}$. $$ \frac{N_{пот}}{N_{1}} \approx 0.153$$ $$ \frac{N_{пот}}{N_{2}} \approx 0.189$$ Определим погрешность измерения $ C_{p} $: $$ \sigma_{C_{p}} = \sqrt{(\frac{\sigma_{k_{1}}}{k_{1}^{2}(q_{1}-q_{2})})^{2}+(\frac{\sigma_{k_{2}}}{k_{2}^{2}(q_{1}-q_{2})})^{2}+ (\frac{k_{2}-k_{1}}{k_{2}k_{1}(q_{1}-q_{2})^{2}})^{2}(\sigma_{q_{1}}^{2}+\sigma_{q_{2}}^{2})^{2}} $$ Итого, $\sigma_{C_{p}} \approx 0.165 \;\frac{Дж}{г*К}$ $$ \sigma_{\alpha} = \sqrt{(\frac{\sigma_{k_{1}}}{k_{1}^{2}})^{2} + (q_{1}\sigma_{C_{p}})^{2} + (C_{p}\sigma_{q_{1}})^{2} } \approx 0.002 \; \frac{Вт}{К} $$ $$ \frac{\sigma_{N_{пот}}}{N} = \frac{1}{(C_{p}q+\alpha)^{2}}\sqrt{(C_{p}q\sigma_{\alpha})^{2}+(\alpha q \sigma_{C_{p}})^{2} + (\alpha C_{p} \sigma_{q})^{2} }$$ $$ \frac{\sigma_{N_{пот}}}{N_{1}} \approx 0.0217, \; \frac{\sigma_{N_{пот}}}{N_{2}} \approx 0.0257 $$ \subsection{Обсуждение результатов} Полученное значение $ C_{p} = 1.006 \pm 0.165 \; \frac{Дж}{г*К} $ практически совпадает с табличным $ C_{p}^{табл} = 1.004 \; \frac{Дж}{г*К} $ Предположение о линейной зависимости $ \Delta T (N) $ подтвердилось. \subsection{Вывод} Экспериментальным путем мы смогли определить крайне близкое к реальному значение удельной теплоемкости воздуха при постоянном давлении. \end{document}