master
nihonium 2 years ago
parent eb45f0c5a4
commit 72cf5b79a1
No known key found for this signature in database
GPG Key ID: 0251623741027CFC

@ -0,0 +1,4 @@
1.0367 3.78 1
0.8644 3.12 1
0.7919 2.95 1
0.6618 2.51 1

@ -0,0 +1,4 @@
0.984 4.57 1
0.7049 3.22 1
0.5844 2.65 1
0.5005 2.29 1

@ -0,0 +1,33 @@
#!/usr/bin/gnuplot -persist
set terminal postscript solid color eps enhanced
#set terminal png enhanced
set output "2.1.1.ps"
set encoding koi8r
#set label 11 center at graph 0.5,char 0.5 "Рис.2 Результаты измерений напряжения V_{B} в зависимости от тока I_{A} для проволок разной длины l и их линейная аппроксимация y = kx" font "Arial,10"
set grid
set xlabel "N, Вт"
set ylabel '/Symbol D T, ^\circ C'
set multiplot
set yrange [0:8]
set xrange [0:1.5]
set key spacing 2
set key bottom right
set key off
set style line 1 lt 1 pt 7 ps 0.5 lc rgb "red"
set style line 2 lt 1 pt 7 ps 0.5 lc rgb "blue"
#set style line 3 lt 1 pt 7 ps 0.5 lc rgb "green"
set style line 4 lc black
set key box linestyle 4
set key opaque Left
plot "2.1.1(q1).txt" using 1:2:3 notitle with yerrorbars linestyle 1
plot "2.1.1(q2).txt" using 1:2:3 notitle with yerrorbars linestyle 2
#plot "1.1.1(20).txt" using 2:1:3 notitle with yerrorbars linestyle 3
plot 3.68*x smooth csplines title "q_{1}" linestyle 1, \
4.6*x smooth csplines title "q_{2}" linestyle 2
# 2.006*x smooth csplines title "l = 20 см\nk=2.006^+/-0.023 Ом" linestyle 3

File diff suppressed because it is too large Load Diff

File diff suppressed because it is too large Load Diff

@ -0,0 +1,5 @@
1 248
2 461
3 673
4 888
5 1105

@ -1,68 +1,4 @@
Влажность - 64%
Давление - 745.5 мм. рт. ст.
t = 22.3 C
Давление - 745.5 мм. рт. ст. (99375.15 Па)
t = 22.3 C (295.45 К)
p0 = 1.17 кг/м^3
______________
delta T = 1.9656 К
#1
I = 0.1 А
U = 2.8 В
t = 70 c
delta V = 5 л
eps = 0.086 мВ
#2
I = 0.08 А
U = 2.4 В
t = 110 с
delta V = 5 л
eps = 0.088 мВ
#3
I = 0.075 А
U = 2.1 В
t = 95 c
delta V = 3 л
eps = 0.88
#4
I = 0.07 А
U = 2 В
t = 110 с
delta V = 3 л
eps = 0.84 мВ
___________________
delta T = 5.1597 К
#1
I = 0.12 А
U = 3.4 В
t = 110 с
delta V = 3 л
eps = 0.21 мВ
#2
I = 0.13 А
U = 3.8 В
t = 65 с
delta V = 3 л
eps = 0.217 м
#3
I = 0.15 А
U = 4.4 В
t = 64 с
delta V = 5 л
eps = 0.214 м
#4
I = 0.17 А
U = 4.8 В
t = 55 с
delta V = 5 л
eps = 0.216 м

@ -0,0 +1,68 @@
Влажность - 64%
Давление - 745.5 мм. рт. ст.
t = 22.3 C
p0 = 1.17 кг/м^3
______________
delta T = 1.9656 К
#1
I = 0.1 А
U = 2.8 В
t = 70 c
delta V = 5 л
eps = 0.086 мВ
#2
I = 0.08 А
U = 2.4 В
t = 110 с
delta V = 5 л
eps = 0.088 мВ
#3
I = 0.075 А
U = 2.1 В
t = 95 c
delta V = 3 л
eps = 0.88
#4
I = 0.07 А
U = 2 В
t = 110 с
delta V = 3 л
eps = 0.84 мВ
___________________
delta T = 5.1597 К
#1
I = 0.12 А
U = 3.4 В
t = 110 с
delta V = 3 л
eps = 0.21 мВ
#2
I = 0.13 А
U = 3.8 В
t = 65 с
delta V = 3 л
eps = 0.217 м
#3
I = 0.15 А
U = 4.4 В
t = 64 с
delta V = 5 л
eps = 0.214 м
#4
I = 0.17 А
U = 4.8 В
t = 55 с
delta V = 5 л
eps = 0.216 м

Binary file not shown.

Before

Width:  |  Height:  |  Size: 77 KiB

After

Width:  |  Height:  |  Size: 19 KiB

File diff suppressed because it is too large Load Diff

Binary file not shown.

After

Width:  |  Height:  |  Size: 16 KiB

Binary file not shown.

After

Width:  |  Height:  |  Size: 77 KiB

File diff suppressed because it is too large Load Diff

@ -0,0 +1,22 @@
set terminal epslatex
set output './lab-gnuplottex-fig1.tex'
set grid
set xlabel '$ N $, Вт'
set ylabel '$ \Delta T $, C'
set multiplot
set yrange [0:1500]
set xrange [0:7]
set key spacing 2
set key bottom right
set key off
set style line 1 lt 1 pt 7 ps 0.5 lc rgb "red"
set style line 2 lt 1 pt 7 ps 0.5 lc rgb "blue"
set style line 4 lc black
set key box linestyle 4
set key opaque Left
plot "2.1.3(22.8).data" using 1:2 notitle linestyle 1

@ -0,0 +1,215 @@
% GNUPLOT: LaTeX picture with Postscript
\begingroup
\makeatletter
\providecommand\color[2][]{%
\GenericError{(gnuplot) \space\space\space\@spaces}{%
Package color not loaded in conjunction with
terminal option `colourtext'%
}{See the gnuplot documentation for explanation.%
}{Either use 'blacktext' in gnuplot or load the package
color.sty in LaTeX.}%
\renewcommand\color[2][]{}%
}%
\providecommand\includegraphics[2][]{%
\GenericError{(gnuplot) \space\space\space\@spaces}{%
Package graphicx or graphics not loaded%
}{See the gnuplot documentation for explanation.%
}{The gnuplot epslatex terminal needs graphicx.sty or graphics.sty.}%
\renewcommand\includegraphics[2][]{}%
}%
\providecommand\rotatebox[2]{#2}%
\@ifundefined{ifGPcolor}{%
\newif\ifGPcolor
\GPcolorfalse
}{}%
\@ifundefined{ifGPblacktext}{%
\newif\ifGPblacktext
\GPblacktexttrue
}{}%
% define a \g@addto@macro without @ in the name:
\let\gplgaddtomacro\g@addto@macro
% define empty templates for all commands taking text:
\gdef\gplbacktext{}%
\gdef\gplfronttext{}%
\makeatother
\ifGPblacktext
% no textcolor at all
\def\colorrgb#1{}%
\def\colorgray#1{}%
\else
% gray or color?
\ifGPcolor
\def\colorrgb#1{\color[rgb]{#1}}%
\def\colorgray#1{\color[gray]{#1}}%
\expandafter\def\csname LTw\endcsname{\color{white}}%
\expandafter\def\csname LTb\endcsname{\color{black}}%
\expandafter\def\csname LTa\endcsname{\color{black}}%
\expandafter\def\csname LT0\endcsname{\color[rgb]{1,0,0}}%
\expandafter\def\csname LT1\endcsname{\color[rgb]{0,1,0}}%
\expandafter\def\csname LT2\endcsname{\color[rgb]{0,0,1}}%
\expandafter\def\csname LT3\endcsname{\color[rgb]{1,0,1}}%
\expandafter\def\csname LT4\endcsname{\color[rgb]{0,1,1}}%
\expandafter\def\csname LT5\endcsname{\color[rgb]{1,1,0}}%
\expandafter\def\csname LT6\endcsname{\color[rgb]{0,0,0}}%
\expandafter\def\csname LT7\endcsname{\color[rgb]{1,0.3,0}}%
\expandafter\def\csname LT8\endcsname{\color[rgb]{0.5,0.5,0.5}}%
\else
% gray
\def\colorrgb#1{\color{black}}%
\def\colorgray#1{\color[gray]{#1}}%
\expandafter\def\csname LTw\endcsname{\color{white}}%
\expandafter\def\csname LTb\endcsname{\color{black}}%
\expandafter\def\csname LTa\endcsname{\color{black}}%
\expandafter\def\csname LT0\endcsname{\color{black}}%
\expandafter\def\csname LT1\endcsname{\color{black}}%
\expandafter\def\csname LT2\endcsname{\color{black}}%
\expandafter\def\csname LT3\endcsname{\color{black}}%
\expandafter\def\csname LT4\endcsname{\color{black}}%
\expandafter\def\csname LT5\endcsname{\color{black}}%
\expandafter\def\csname LT6\endcsname{\color{black}}%
\expandafter\def\csname LT7\endcsname{\color{black}}%
\expandafter\def\csname LT8\endcsname{\color{black}}%
\fi
\fi
\setlength{\unitlength}{0.0500bp}%
\ifx\gptboxheight\undefined%
\newlength{\gptboxheight}%
\newlength{\gptboxwidth}%
\newsavebox{\gptboxtext}%
\fi%
\setlength{\fboxrule}{0.5pt}%
\setlength{\fboxsep}{1pt}%
\definecolor{tbcol}{rgb}{1,1,1}%
\begin{picture}(7200.00,5040.00)%
\gplgaddtomacro\gplbacktext{%
\csname LTb\endcsname%%
\put(550,704){\makebox(0,0)[r]{\strut{}$0$}}%
\csname LTb\endcsname%%
\put(550,1218){\makebox(0,0)[r]{\strut{}$1$}}%
\csname LTb\endcsname%%
\put(550,1733){\makebox(0,0)[r]{\strut{}$2$}}%
\csname LTb\endcsname%%
\put(550,2247){\makebox(0,0)[r]{\strut{}$3$}}%
\csname LTb\endcsname%%
\put(550,2762){\makebox(0,0)[r]{\strut{}$4$}}%
\csname LTb\endcsname%%
\put(550,3276){\makebox(0,0)[r]{\strut{}$5$}}%
\csname LTb\endcsname%%
\put(550,3790){\makebox(0,0)[r]{\strut{}$6$}}%
\csname LTb\endcsname%%
\put(550,4305){\makebox(0,0)[r]{\strut{}$7$}}%
\csname LTb\endcsname%%
\put(550,4819){\makebox(0,0)[r]{\strut{}$8$}}%
\csname LTb\endcsname%%
\put(682,484){\makebox(0,0){\strut{}$0$}}%
\csname LTb\endcsname%%
\put(1498,484){\makebox(0,0){\strut{}$0.2$}}%
\csname LTb\endcsname%%
\put(2314,484){\makebox(0,0){\strut{}$0.4$}}%
\csname LTb\endcsname%%
\put(3130,484){\makebox(0,0){\strut{}$0.6$}}%
\csname LTb\endcsname%%
\put(3947,484){\makebox(0,0){\strut{}$0.8$}}%
\csname LTb\endcsname%%
\put(4763,484){\makebox(0,0){\strut{}$1$}}%
\csname LTb\endcsname%%
\put(5579,484){\makebox(0,0){\strut{}$1.2$}}%
\csname LTb\endcsname%%
\put(6395,484){\makebox(0,0){\strut{}$1.4$}}%
}%
\gplgaddtomacro\gplfronttext{%
\csname LTb\endcsname%%
\put(209,2761){\rotatebox{-270}{\makebox(0,0){\strut{}$ \Delta T $, C}}}%
\put(3742,154){\makebox(0,0){\strut{}$ N $, Вт}}%
}%
\gplgaddtomacro\gplbacktext{%
\csname LTb\endcsname%%
\put(550,704){\makebox(0,0)[r]{\strut{}$0$}}%
\csname LTb\endcsname%%
\put(550,1218){\makebox(0,0)[r]{\strut{}$1$}}%
\csname LTb\endcsname%%
\put(550,1733){\makebox(0,0)[r]{\strut{}$2$}}%
\csname LTb\endcsname%%
\put(550,2247){\makebox(0,0)[r]{\strut{}$3$}}%
\csname LTb\endcsname%%
\put(550,2762){\makebox(0,0)[r]{\strut{}$4$}}%
\csname LTb\endcsname%%
\put(550,3276){\makebox(0,0)[r]{\strut{}$5$}}%
\csname LTb\endcsname%%
\put(550,3790){\makebox(0,0)[r]{\strut{}$6$}}%
\csname LTb\endcsname%%
\put(550,4305){\makebox(0,0)[r]{\strut{}$7$}}%
\csname LTb\endcsname%%
\put(550,4819){\makebox(0,0)[r]{\strut{}$8$}}%
\csname LTb\endcsname%%
\put(682,484){\makebox(0,0){\strut{}$0$}}%
\csname LTb\endcsname%%
\put(1498,484){\makebox(0,0){\strut{}$0.2$}}%
\csname LTb\endcsname%%
\put(2314,484){\makebox(0,0){\strut{}$0.4$}}%
\csname LTb\endcsname%%
\put(3130,484){\makebox(0,0){\strut{}$0.6$}}%
\csname LTb\endcsname%%
\put(3947,484){\makebox(0,0){\strut{}$0.8$}}%
\csname LTb\endcsname%%
\put(4763,484){\makebox(0,0){\strut{}$1$}}%
\csname LTb\endcsname%%
\put(5579,484){\makebox(0,0){\strut{}$1.2$}}%
\csname LTb\endcsname%%
\put(6395,484){\makebox(0,0){\strut{}$1.4$}}%
}%
\gplgaddtomacro\gplfronttext{%
\csname LTb\endcsname%%
\put(209,2761){\rotatebox{-270}{\makebox(0,0){\strut{}$ \Delta T $, C}}}%
\put(3742,154){\makebox(0,0){\strut{}$ N $, Вт}}%
}%
\gplgaddtomacro\gplbacktext{%
\csname LTb\endcsname%%
\put(550,704){\makebox(0,0)[r]{\strut{}$0$}}%
\csname LTb\endcsname%%
\put(550,1218){\makebox(0,0)[r]{\strut{}$1$}}%
\csname LTb\endcsname%%
\put(550,1733){\makebox(0,0)[r]{\strut{}$2$}}%
\csname LTb\endcsname%%
\put(550,2247){\makebox(0,0)[r]{\strut{}$3$}}%
\csname LTb\endcsname%%
\put(550,2762){\makebox(0,0)[r]{\strut{}$4$}}%
\csname LTb\endcsname%%
\put(550,3276){\makebox(0,0)[r]{\strut{}$5$}}%
\csname LTb\endcsname%%
\put(550,3790){\makebox(0,0)[r]{\strut{}$6$}}%
\csname LTb\endcsname%%
\put(550,4305){\makebox(0,0)[r]{\strut{}$7$}}%
\csname LTb\endcsname%%
\put(550,4819){\makebox(0,0)[r]{\strut{}$8$}}%
\csname LTb\endcsname%%
\put(682,484){\makebox(0,0){\strut{}$0$}}%
\csname LTb\endcsname%%
\put(1498,484){\makebox(0,0){\strut{}$0.2$}}%
\csname LTb\endcsname%%
\put(2314,484){\makebox(0,0){\strut{}$0.4$}}%
\csname LTb\endcsname%%
\put(3130,484){\makebox(0,0){\strut{}$0.6$}}%
\csname LTb\endcsname%%
\put(3947,484){\makebox(0,0){\strut{}$0.8$}}%
\csname LTb\endcsname%%
\put(4763,484){\makebox(0,0){\strut{}$1$}}%
\csname LTb\endcsname%%
\put(5579,484){\makebox(0,0){\strut{}$1.2$}}%
\csname LTb\endcsname%%
\put(6395,484){\makebox(0,0){\strut{}$1.4$}}%
}%
\gplgaddtomacro\gplfronttext{%
\csname LTb\endcsname%%
\put(209,2761){\rotatebox{-270}{\makebox(0,0){\strut{}$ \Delta T $, C}}}%
\put(3742,154){\makebox(0,0){\strut{}$ N $, Вт}}%
\csname LTb\endcsname%%
\put(5288,1427){\makebox(0,0)[l]{\strut{}$ q_{1} $}}%
\csname LTb\endcsname%%
\put(5288,987){\makebox(0,0)[l]{\strut{}$ q_{2} $}}%
}%
\gplbacktext
\put(0,0){\includegraphics[width={360.00bp},height={252.00bp}]{./lab-gnuplottex-fig1}}%
\gplfronttext
\end{picture}%
\endgroup

@ -0,0 +1,26 @@
\relax
\providecommand\babel@aux[2]{}
\@nameuse{bbl@beforestart}
\catcode `"\active
\babel@aux{russian}{}
\@writefile{toc}{\contentsline {section}{\numberline {1}Теоретические сведения}{1}{}\protected@file@percent }
\newlabel{eq1}{{1}{1}}
\newlabel{eq2}{{2}{1}}
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {1}{\ignorespaces Нагрев газа при течении по трубе}}{2}{}\protected@file@percent }
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {1.1}Экспериментальная установка:}{2}{}\protected@file@percent }
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {2}{\ignorespaces Схема экспериментальной установки}}{2}{}\protected@file@percent }
\newlabel{eq3}{{3}{2}}
\newlabel{eq4}{{4}{3}}
\newlabel{eq5}{{5}{3}}
\newlabel{eq6}{{6}{3}}
\newlabel{eq7}{{7}{3}}
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {1.2}Оборудование и инструментальные погрешности}{3}{}\protected@file@percent }
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {1.3}Ход работы}{3}{}\protected@file@percent }
\@writefile{lot}{\contentsline {table}{\numberline {1}{\ignorespaces Измерение $ q_{1} $}}{4}{}\protected@file@percent }
\@writefile{lot}{\contentsline {table}{\numberline {2}{\ignorespaces Измерение $ q_{2} $}}{4}{}\protected@file@percent }
\@writefile{lot}{\contentsline {table}{\numberline {3}{\ignorespaces Зависимость $ \Delta T(N)$ для $ q_{1} $}}{5}{}\protected@file@percent }
\@writefile{lot}{\contentsline {table}{\numberline {4}{\ignorespaces Зависимость $ \Delta T(N)$ для $ q_{2} $}}{5}{}\protected@file@percent }
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {1.4}Обработка данных}{5}{}\protected@file@percent }
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {1.5}Обсуждение результатов}{6}{}\protected@file@percent }
\@writefile{toc}{\contentsline {subsection}{\numberline {1.6}Вывод}{7}{}\protected@file@percent }
\gdef \@abspage@last{7}

@ -0,0 +1 @@
gnuplot: error while loading shared libraries: libcerf.so.2: cannot open shared object file: No such file or directory

File diff suppressed because it is too large Load Diff

Binary file not shown.

@ -5,6 +5,8 @@
\usepackage{epsf,amsmath,amsfonts,amssymb,amsbsy}
\usepackage[mathscr]{eucal}
\usepackage[english, russian]{babel}
\usepackage{gnuplottex}
\author{Гришаев Григорий С01-119}
\title{Отчёт о выполнении лабораторной работы 2.1.1}
\usepackage[left=2cm,right=2cm,top=2cm,bottom=2cm]{geometry}
@ -16,403 +18,255 @@
\begin{document}
\maketitle
\begin{center}
{\Large Измерение удельной теплоёмкости воздуха при постоянном давленини}
{\Large Измерение удельной теплоёмкости воздуха при постоянном давлении}
\end{center}
\paragraph*{Цель работы:} 1) измерение повышения температуры воздуха в результате подвода тепла при стационарном течении через стеклянную трубу; 2) вычисление по результатам измерений теплоёмкости воздуха при постоянном давлении.
\paragraph*{В работе используются:} теплоизолированная трубка; электронагреватель; источник питания постоянного тока; амперметр; вольтметр; термопара; компрессор; газовый счётчик;
секундомер.
\paragraph*{Цель работы:}измерить повышение температуры воздуха в зависимости от мощности подводимого тепла и расхода при стационарном течении через трубу; исключив тепловые потери, по результатам измерений определить теплоёмкость воздуха при постоянном давлении
\paragraph*{В работе используются:}теплоизолированная стеклянная трубка; электронагреватель; источник питания постоянного тока; амперметр, вольтметр (цифровые мультиметры); термопара, подключенная к микровольтметру; компрессор; газовый счётчик; секундомер.
\section{Теоретические сведения}
Определение теплоёмкости обычно производится в калориметрах. При этом регистрируется количество тепла {Q}, полученное телом, и изменение температуры этого тела $ {\Delta T} $.
Теплоёмкость тела определяется как их отношение: $$ C = \frac{Q}{\Delta T} \; (1).$$
Необходимо, чтобы количество тепла, затрачиваемое на нагревание исследуемого тела, существенно превосходило тепло, расходуемое на нагревание самого калориметра, а также на потери тепла из установки.
Для увеличения количества нагреваемого газа при неизменных размерах установки в нашей работе исследуемый газ (воздух) продувается через калориметр, внутри которого установлен нагреватель. При этом
измеряются мощность нагревателя, масса воздуха, протекающего в единицу
времени (расход), и приращение его температуры.
Теплоёмкость тела определяется как их отношение:
\begin{equation}
\label{eq1}
C = \frac{\delta Q}{dT} \;
\end{equation}
Необходимо, чтобы количество тепла, затрачиваемое на нагревание исследуемого тела, существенно превосходило тепло, расходуемое на нагревание самого калориметра, а также на потери тепла из установки.
Для увеличения количества нагреваемого газа при неизменных размерах установки в нашей работе исследуемый газ (воздух) продувается через калориметр, внутри которого установлен нагреватель. При этом измеряются мощность нагревателя, масса воздуха, протекающего в единицу времени (расход), и приращение его температуры.
Рассмотрим газ, протекающий стационарно слева направо через трубу постоянного сечения, в которой установлен нагревательный элемент (см. рис. 1). Пусть за некоторое время $ dT $ через калориметр прошла малая порция газа массой $ dm = qdt $, где $ q $ [кг/с] — массовый расход газа в трубе. Если мощность нагрева равна $ N $, мощность тепловых потерь на обмен с окружающей средой $ N_{пот} $, то порция получила тепло $ \delta Q = (N - N_{пот})dt $. С другой стороны, по определению теплоёмкости \ref{eq1}, $ \delta Q = c dm \Delta T$, где $ \Delta T = T_{2} - T_{1}$ - приращение температуры газа, и $ c $ — удельная (на единицу массы) теплоёмкость газа в рассматриваемом процессе. При малых расходах газа и достаточно большом диаметре трубы перепад давления на её концах мал, поэтому можно принять, что $ P_{1} \approx P_{2} = P_{0} $, где $ P_{0} $ — атмосферное давление. Следовательно, в условиях опыта измеряется удельная теплоёмкость при постоянном давлении $ c_{p} $. Таким образом, получаем
\begin{equation}
\label{eq2}
c_{p} = \frac{N - N_{пот}}{q \Delta T};
\end{equation}
\begin{figure}[h!]
\center{\includegraphics[width=0.5\linewidth]{1}}
\caption{Нагрев газа при течении по трубе}
\end{figure}
\subsection{Экспериментальная установка:}
Схема установки изображена на рис.1. Воздух, нагнетаемый компрессором, прокачивается через калориметр. Калориметр представляет собой стеклянную цилиндрическую трубку с двойными стенками, запаянными с торцов.
Схема установки изображена на рис.2. Воздух, нагнетаемый компрессором, прокачивается через калориметр. Калориметр представляет собой стеклянную цилиндрическую трубку с двойными стенками, запаянными с торцов.
\begin{figure}[h]
\center{\includegraphics{1}}
\center{\includegraphics{3}}
\caption{Схема экспериментальной установки}
\end{figure}
Нагреватель в виде намотанной на пенопласт нихромовой проволоки расположен внутри калориметра непосредственно в воздушном потоке. Нагрев проволоки производится от регулируемого источника постоянного тока (ИП).
Напряжение $U$ на нагревателе и ток $I$ через него регистрируются цифровыми мультиметрами. Таким образом, мощность нагрева равна
$$N= UI \; (3).$$
\begin{equation}
\label{eq3}
N= UI \;
\end{equation}
Для измерения разности температур $\Delta T$ служит медно-константановая
термопара. Один спай термопары расположен в струе воздуха, входящего в
калориметр, и находится при комнатной температуре, а второй — в струе выходящего нагретого воздуха. Константановая проволока термопары расположена внутри калориметра, а медные проводники подключены к цифровому вольтметру. Возникающая в термопаре ЭДС $\varepsilon$ пропорциональна разности температур $\Delta T$ спаев: $$\varepsilon =\beta \Delta T \; (4),$$ где $\beta = 42.3 \frac{мкВ}{^\circ C}$ — чувствительность медно-константановой термопары в рабочем диапазоне температур (2030 $^\circ C$ ). ЭДС регистрируется с помощью микровольтметра.
Вычислим работу, совершаемую при протекании газа через калориметр. Внешняя работа по перемещению моля газа в направлении течения в начале трубки равна $ A_{1} = P_{1}V_{1} $, а в конце трубки давление препятствует движению и внешняя работа над газом отрицательна: $ A_{2}=-P_{2}V_{2}$. Полная работа над газом равна $ A_{1}+A_{2}=P_{1}V_{1}-P_{2}V_{2}$, а работа самого газа равна этой же величине, но с обратным знаком: $$ A =P_{2}V_{2}-P_{1}V_{1}$$
Внутренняя энергия газа изменяется на величину $ \Delta U = U_{2} - U_{1} $.
Из первого начала термодинамики: $$ Q = U_{2}-U_{1}+P_{2}V_{2}-P_{1}V_{1}=H_{2}-H_{1}$$,
где $H=U+PV$ - энтальпия.
Для идеального газа $ H = C_{p}T$, поэтому $$ Q = C_{p}(T_{2}-T_{1})$$.
Следовательно, в данном эксперименте измеряется теплоемкость при постоянном давлении.
Расчет удельной теплоемкости воздуха: $$ c_{p} = \frac{Q}{m \Delta T}= \frac{IU-N}{m \Delta T}$$,
% Объём воздуха, прошедшего через калориметр, измеряется газовым счётчиком ГС. Для регулировки расхода служит кран К. Время $\Delta t$ прохождения некоторого объема $\Delta V$ воздуха измеряется секундомером. Объёмный расход равен $\frac{\Delta V}{\Delta t} $, массовый расход может быть найден как $$q = \rho_{0} \frac{\Delta V}{\Delta t} \; (5),$$ где $rho_{0}$ — плотность воздуха при комнатной температуре, которая в свою очередь может быть получена из уравнения Менделеева–Клапейрона: $\rho_{0}= \frac{\mu P_{0} }{R T_{0}},$ где $P_{0}$ — атмосферное давление, $T_{0}$ — комнатная температура (в Кельвинах), $\mu = 29,0 {г/моль}$ — средняя молярная масса (сухого) воздуха.
% Учитывая особенности устройства калориметра, следует ожидать, что мощность нагревателя расходуется не только на нагрев массы прокачиваемого воздуха, но и частично теряется за счет нагрева внутренних стенок термостата и рассеяния тепла через торцы термостата. Можно предположить, что при небольшом нагреве ($\Delta T \ll T_{0}$) мощность потерь тепла $N_{пот}$ прямо пропорциональна разности температур:$$ N_{пот} = \alpha \Delta T \; (6),$$ где $\alpha$ — некоторая константа. При этом условии основное соотношение (2) принимает вид $$N = (c_{P}q +\alpha)\Delta T \;(7)$$
% Следовательно, при фиксированном расходе воздуха ($q = const$ ) подводимая мощность и разность температур связаны прямой пропорциональностью($\Delta T(N)$ — линейная функция).
калориметр, и находится при комнатной температуре, а второй — в струе выходящего нагретого воздуха. Константановая проволока термопары расположена внутри калориметра, а медные проводники подключены к цифровому вольтметру. Возникающая в термопаре ЭДС $\varepsilon$ пропорциональна разности температур $\Delta T$ спаев:
\begin{equation}
\label{eq4}
\varepsilon =\beta \Delta T \;
\end{equation}
где $\beta = 40.7 \frac{мкВ}{^\circ C}$ — чувствительность медно-константановой термопары в рабочем диапазоне температур (2030 $^\circ C$ ). ЭДС регистрируется с помощью микровольтметра.
Объём воздуха, прошедшего через калориметр, измеряется газовым счётчиком ГС. Для регулировки расхода служит кран К. Время $ \Delta t $ прохождения некоторого объема $ \Delta V $ воздуха измеряется секундомером. Объёмный расход равен $ \Delta V/\Delta T $, массовый расход может быть найден как
\begin{equation}
\label{eq5}
q = \rho_{o}\frac{\Delta V}{\Delta t} \;
\end{equation}
где $ \rho_{0} $ — плотность воздуха при комнатной температуре, которая в свою очередь может быть получена из уравнения Менделеева–Клапейрона: $ \rho_{0} = \frac{\mu P_{0}}{R T_{0}} $, где $ P_{0} $ — атмосферное давление, $ T_{0} $ — комнатная температура (в Кельвинах), $ \mu $= 29,0 г/моль — средняя молярная масса (сухого) воздуха.
Учитывая особенности устройства калориметра, следует ожидать, что мощность нагревателя расходуется не только на нагрев массы прокачиваемого воздуха, но и частично теряется за счет нагрева внутренних стенок термостата и рассеяния тепла через торцы термостата. Можно предположить, что при небольшом нагреве ($ \Delta T << T_{0} $) мощность потерь тепла $ N_{пот} $ прямо
пропорциональна разности температур:
\begin{equation}
\label{eq6}
N_{пот} = \alpha \Delta T \;
\end{equation}
где $ \alpha $ — некоторая константа. При этом условии основное соотношение \ref{eq2} принимает вид
\begin{equation}
\label{eq7}
N = (c_{p}q + \alpha)\Delta T \;
\end{equation}
Следовательно, при фиксированном расходе воздуха ($ q $ = const) подводимая мощность и разность температур связаны прямой пропорциональностью ($ \Delta T{N} $ — линейная функция).
\subsection{Оборудование и инструментальные погрешности}
Для измерения $ \varepsilon $ использовался вольтметр универсальный В7-78/1, его абсолютная погрешность равна $ \pm (0.005 \frac{\varepsilon}{100} + 3.5) \; мкВ$.
Для измерения $ U $ использовался цифровой универсальный вольтметр GDM-8145, абсолютная погрешность которого равна $ \pm (0.0003U \pm 4 \; мВ) $.
Его же мы использовали для измерения $ I $, абсолютная погрешность: $ \pm (0.002I+20 \; мкА) $.
\subsection{Ход работы}
% \begin{enumerate}
% \item Подготовим к работе газовый счетчик: проверим, что он заполнен водой, установим счетчик по уровню.
% \item Охладим калориметр до комнатной температуры.
% \item Включим вольтметр, предназначенный для измерения ЭДС термопары.
% \item Запишем показания компнатной температуры и давления. $$T_{0} = 297.05 \; ^\circ C, P_{0} = 99325 \pm 13 \; {Па} $$
% \item С помощью газового счетчика и секундомера измерим максимальный расход воздуха $\frac{\Delta V}{\Delta T}$ (в л/с). Измерения представлены в таблице 1. По найденным значениям определим среднее значение расхода и массовый расход воздуха $q_{max}$ [г/с].
%
% $$q = \rho_0 \frac{\Delta V}{\Delta t} = \frac{\mu P_0}{RT_0} \frac{\Delta V}{\Delta t}.$$
%
% Относительная погрешность косвенных измерений может быть найдена по формуле $$\frac{\sigma_{q_{max}кос}}{q_{max}} = \sqrt{(\frac{\sigma_{T_0}}{T_{0}})^2+(\frac{\sigma_{P_0}}{P_{0}})^2+ (\frac{\sigma_t}{t})^2}$$
%
%
% \begin{table}
% \begin{center}
% \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
% \hline
% $\Delta V, л$ & $\Delta t, c$ & $\frac{\Delta V}{\Delta t},\frac{л}{с}$ & $q_{max},\frac{г}{c} $ & $\sigma_{q_{max}кос}, \; \frac{г}{с} \cdot 10^{-3}$ \\
% \hline
% x & 0 & 0 & 0 & 0 \\
% \hline
% x & 0 & 0 & 0 & 0\\
% \hline
% x & 0 & 0 & 0 & 0\\
% \hline
% x & 0 & 0 & 0 &0 \\
% \hline
%
% \end{tabular}
% \end{center}
% \caption{Измерение расхода воздуха}
% \end{table}
% $$\overline{\frac{\Delta V}{\Delta t}} = 0.1951 \; \frac{л}{с} ,\; \overline{q_{max}} = 0.2276 \; \frac{г}{с} $$
%
% Случайная погрешность массового расхода может быть найдена по формуле: $$\sigma_{q_{max}сл} = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{7} (q_{max,i}-\overline{q_{max}})^2}{6}} = 0.0003 \; \frac{г}{c}.$$
%
% Косвенная погрещность для среднего значения: $q_{max}$ $$\sigma_{\overline{q_{max}}кос} = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{7} (\sigma_{q_{max}кос})^2}{7^2}} = 0.0003 \; \frac{г}{c}.$$
%
% Суммарная погрешность: $$\sigma_{\overline{q_{max}}} = \sqrt{(\sigma_{q_{max}сл})+(\sigma_{\overline{q_{max}}кос})^2} = 0.0004 \; \frac{г}{c}.$$
%
% Окончательное значение: $$q_{max} = 0.2276 \pm 0.0004 \; \frac{г}{с} $$
%
% \item Оценим величину тока нагревателя $I_{0}$, требуемого для нагрева воздуха на $\delta T = 1 {К}$.
%
% Определим теоретическое значение удельной теплоемкости воздуха при постоянном давлении $C_{теорp} \; \frac{Дж}{г\cdot K}$, считая воздух смесью двухатомных идеальных газов: $Cp = 3.5R\mu \approx 1 \; \frac{Дж}{г\cdot K}.$
%
% Оценим минимальную мощность $N_0$, необходимую для нагрева газа при максимальном расходе. $N_{0} = c_{p}q\Delta T \approx 0.227 {Вт}.$
%
% Учитывая, что сопротивление проволоки нагревателя составляет приблизительно $R_{н} \approx 35 {Ом}$ и в процессе опыта практически не меняется, искомое значение тока $I_{0} = q N_{0} R_{н} \approx 0.08 \; {А}.$
%
% \item Проведем измерение зависимости разности температур от мощности нагрева $\Delta T(N)$ при максимальном расходе воздуха $q_0 = q_{max}.$
% \begin{table}
%
% \begin{center}
% \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
% \hline
% $I, мA$ & $U, B$ & $N, Вт$ & $R_н, Ом$ & $\varepsilon, \muВ$ & $ \Delta T, K$
% \\
% \hline
% 108.18 & 3.19 & 0.345 & 29.49 & 52 & 1.28
% \\
% \hline
% 141.62 & 4.18 & 0.592 & 29.52 & 88 & 2.16
% \\
% \hline
% 165.70 & 4.89 & 0.810 & 29.51 & 118 & 2.90
% \\
% \hline
% 181.06 & 5.34 & 0.967 & 29.49 & 141 & 3.46
% \\
% \hline
% 210.7 & 6.21 & 1.308 & 29.48 & 188 & 4.61
% \\
% \hline
% \end{tabular}
% \end{center}
% \caption{Измерение $\Delta T (N) \; {при} \; q_{max}$}
% \end{table}
% Следует отметить, что погрешность измерения тока: $\sigma_{I} = 0.01 \; мA$, а напряжения: $\sigma_{U}= 0.01 \; В$, $\sigma_{\varepsilon}= 1 \; \muВ$
%
% Завершив первую серию измерении, охладим калориметр до комнатнои температуры.
% Для этого отключим источник питания нагревателя, откроем кран К и продуем калориметр при максимальном расходе воздуха до тех пор, пока показания ЭДС не достигнут нуля.
%
% Данные представлены в таблице 2.
%
% \begin{table}
% \begin{center}
% \begin{tabular}{lr}
% \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
% \hline
% $\Delta V, л$ & $\Delta t, c$ & $\frac{\Delta V}{\Delta t},\frac{л}{с}$ & $q_1, \frac{г}{c}$ & $Z, \; \frac{г}{с} \cdot 10^{-3}$ \\
% \hline
% 5 & 46.02 & 0.1086 & 0.1266 & 0.550 \\
% \hline
% 10 & 91.4 & 0.1094 & 0.1275 & 0.279 \\
% \hline
% 15 & 134.78 & 0.1113 & 0.1297& 0.192 \\
% \hline
% 20 & 178.96 & 0.1117 & 0.1302 & 0.146\\
% \hline
% 25 & 221.14 & 0.1130 & 0.1317 & 0.119 \\
% \hline
% 30 & 266.36 & 0.1126 & 0.1312 & 0.099\\
% \hline
% 35 & 311.83 & 0.1122 & 0.1308 & 0.084\\
% \hline
% \end{tabular}
%
% \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
% \hline
% $\Delta V, л$ & $\Delta t, c$ & $\frac{\Delta V}{\Delta t},\frac{л}{с}$ & $q_2, \frac{г}{c}$ & $Z, \; \frac{г}{с} \cdot 10^{-3}$ \\
% \hline
% 1 & 13.40 & 0.0747 & 0.0870 & 1.30\\
% \hline
% 2 & 27.56 & 0.0726 & 0.0846 & 0.61\\
% \hline
% 3 & 41.31 & 0.0726 & 0.0846 & 0.41\\
% \hline
% 4 & 54.95 & 0.0733 & 0.0855 & 0.31 \\
% \hline
% 5 & 69.05 & 0.0724 & 0.0844 & 0.24\\
% \hline
% 6 & 82.24 & 0.0729 & 0.0850 & 0.21\\
% \hline
% 7 & 96.18 & 0.0728 & 0.0848 & 0.18 \\
% \hline
%\end{tabular}
%\end{tabular}
%\end{center}
%\caption{Измерения других расходов; $q_1 = 0.123 \pm 0.002 \; \frac{г}{с}; \; q_2 = 0.085 \pm 0.001 \; \frac{г}{с} $ }
%\end{table}
% Проведем аналогичные измерения для других значений расхода воздуха. Новая температура $T_{0} = 297.4 ^\circ C$.
% Данные представлены в таблице 3 и 4. ($Z \equiv \sigma_{q_{max}кос}$). Погрешности рассчитаны аналогично $q_{max}.$
%
%\begin{table}
% \begin{center}
% \begin{tabular}{lr}
% \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
% \hline
% $I, A$ & $U, B$ & $N, Вт$ & $R_н, Ом$ & $\varepsilon, \muВ$ & $ \Delta T, K$\\
% \hline
% 91.34 & 2.69 & 0.246 & 29.45 & 50 & 1.23 \\
% \hline
% 120.30 & 3.55 & 0.427 & 29.51 & 89 & 2.19 \\
% \hline
% 145.11 & 4.28 & 0.621 & 29.49 & 128 & 3.14 \\
% \hline
% 176.45 & 5.20 & 0.918 & 29.47 & 184 & 4.52 \\
% \hline
% 212.20 & 6.23 & 1.322 & 29.36 & 261 & 6.41 \\
% \hline
%
% \end{tabular}
% \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
% \hline
% $I, A$ & $U, B$ & $N, Вт$ & $R_н, Ом$ & $\varepsilon, \muВ$ & $ \Delta T, K$\\
% \hline
% 105.95 & 3.13 & 0.332 & 29.54 & 81 & 1.99 \\
% \hline
% 125.74 & 3.71 & 0.466 & 29.51 & 128 & 3.14 \\
% \hline
% 149.46 & 4.41 & 0.659 & 29.50 & 175 & 4.30 \\
% \hline
% 177.33 & 5.23 & 0.927 & 29.49 & 236 & 5.80 \\
% \hline
% 211.5 & 6.25 & 1.322 & 29.55 & 310 & 7.62 \\
% \hline
% \end{tabular}
% \end{tabular}
% \end{center}
% \caption{Измерение $\Delta T (N) \; {при} \; q_{1} \; и \; q_{2}$}
%\end{table}
%
% Погрешности будем считать по слудующим формулам: $$ \sigma_{\Delta T} = \Delta T \frac{\sigma_{\varepsilon}}{\varepsilon}, \sigma_{N}= N\sqrt{( \frac{\sigma_{I}}{I})^2 + (\frac{\sigma_{U}}{U})^2} \approx N \frac{\sigma_{U}}{U}$$
%
% \begin{table}
% \begin{tabular}{lr}
% \begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|}
% \hline
% q, $\frac{г}{с}$ & \multicolumn{4}{|c|}{0.2276} & \multicolumn{4}{|c|}{0.123}
% \\
% \hline
% k & $\Delta T, \; ^\circ C$& $\sigma_{\Delta T}\; ^\circ C$ & $N$, мВт & $\sigma_{N}$, мВт & $\Delta T, \; ^\circ C$& $\sigma_{\Delta T}\; ^\circ C$ & $N$, мВт & $\sigma_{N}$, мВт
% \\
%
% \hline
% 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
% \\
% \hline
% 1 & 1.28 & 0.02 & 345 & 1.1 & 1.23 & 0.02 & 246 & 0.9
% \\
% \hline
% 2 & 2.16 & 0.02 & 592 & 1.4 & 2.19 & 0.02 & 427 & 1.2
% \\
% \hline
% 3 & 2.90 & 0.02 & 810 & 1.7 & 3.14 & 0.02 & 621 & 1.5
% \\
% \hline
% 4 & 3.46 & 0.02 & 967 & 1.8 & 4.52 & 0.02 & 918 & 1.8
% \\
% \hline
% 5 & 4.61 & 0.02 & 1308 & 2.1 & 6.41 & 0.02 & 1322 & 2.1
% \\
% \hline
% \end{tabular}
%
% \\
%
% \begin{tabular} {|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|}
% \hline
% q, $\frac{г}{с}$ & \multicolumn{4}{|c|}{0.085}
% \\
% \hline
% k & $\Delta T, \; ^\circ C$& $\sigma_{\Delta T}\; ^\circ C$ & $N$, мВт & $\sigma_{N}$, мВт
% \\
% \hline
% 0 & 0 & 0 & 0 & 0
% \\
% \hline
% 1 & 1.99 & 0.02 & 332 & 1.1
% \\
% \hline
% 2 & 3.14 & 0.02 & 466 & 1.3
% \\
% \hline
% 3 & 4.30 & 0.02 & 659 & 1.5
% \\
% \hline
% 4 & 5.80 & 0.02 & 927 & 1.8
% \\
% \hline
% 5 & 7.62 & 0.02 & 1322 & 2.1
% \\
% \hline
% \end{tabular}
%
%
%
% \end{tabular}
% \caption{ погрешности, $\Delta T \; и \; N$}
% \end{table}
%
%
% После завершения опытов выключим источник питания нагревателя и мультиметры. Кран К откроем для максимального продува воздуха через калориметр.
%
%\item Построим на одном графике зависимости $\Delta T (N)$ при разных значениях $q$.
% \begin{center}
% \begin{tikzpicture}[scale = 2]
% \begin{axis}[
% axis lines = left,
% legend style={at={(1,0.3)}},
% xlabel = {$N$, {мВт}},
% ylabel = {$\Delta T, {^\circ C} $
% },
% xmin=0, xmax=1350,
% ymin=0, ymax=8,
% ymajorgrids = true,
% xmajorgrids = true,
% minor tick num = 4
% ]
% \addplot+[only marks ] plot[error bars/.cd, y dir=both, y explicit]
% coordinates {
% (0,0)
% (345,1.28)
% (592, 2.16)
% (810, 2.90)
% (967 , 3.46)
% (1308, 4.61)
% };
% \addplot+[only marks ] plot[error bars/.cd, y dir=both, y explicit] coordinates {
% (0,0)
% (246,1.23)
% (427, 2.19)
% (621, 3.14)
% (918 , 4.52)
% (1322, 6.41)
% };
% \addplot+[only marks ] plot[error bars/.cd, y dir=both, y explicit]
% coordinates {
% (0,0)
% (332,1.99)
% (466, 3.14)
% (659, 4.30)
% (927 , 5.80)
% (1322, 7.62)
% };
%
%
% \addplot[blue, domain=0:1350]{0.042+0.0035*x};
% \addplot[red, domain=0:1350]{0.0619+0.0048*x};
% \addplot[brown, domain=0:1350]{0.0210+0.0063*x};
% \legend{
% $q_{max} = 0.2276 \frac{г}{с}$, $q_{1} = 0.123 \frac{г}{с};$ , $ q_{2} = 0.085 \frac{г}{с};$
% };
% \end{axis}
% \end{tikzpicture}
% \end{center}
% ${y_{max} = (3.5 \pm 0.3 )10^{-3}x+0.042 \pm 0.027}$,\\
% $\; {y_{1} = (4.8 \pm 0.1)10^{-3}x+0.062 \pm 0.044}$,\\
% $\; {y_{2} = (6.3 \pm 0.2)10^{-3}x+0.021 \pm 0.12}.$
% $Чтобы \; найти \; k_{max},\; k_1, \; k_2$, необходимо перевернуть соотвествующие коэффициенты $k'$ наклонов прямых, а погрешность считать по формуле: $$\sigma_k = k^2 \sigma_{k'}.$$
% $k_{max} = 0.286 \pm 0.025 \; \frac{Вт}{К}, \; k_{1} = 0.208 \pm 0.004 \; \frac{Вт}{К}, \; k_{2} = 0.159 \pm 0.005 \; \frac{Вт}{К} $
%
% Прямая для расхода $q_2$ не идёт из нуля, вероятно, из-за поспешного начала третей серии измерений (начальная температура была несколько больше комнатной). Однако в целом из вида наших прямых, можно сделать вывод о том, что тепловые потери пропорциональны разности температур.
%
%
% Построим график зависимости $k(q)$ и по его наклону определим теплоёмкость воздуха при постоянном давлении $c_p$
%
% \begin{center}
% \begin{tikzpicture}[scale = 1]
% \begin{axis}[
% axis lines = left,
% legend style={at={(1,1)}},
% xlabel = {$q, \; \frac{г}{с} \cdot 10^{-1}$},
% ylabel = {$k, \frac{Вт}{К}$
% },
% xmin=0, xmax=3,
% ymin=0, ymax=0.5,
% ymajorgrids = true,
% xmajorgrids = true,
% minor tick num = 4
% ]
% \addplot+[only marks ] plot[error bars/.cd, x dir=both, x explicit ,y dir=both, y explicit]
% coordinates {
% (2.276,0.286) +- (0.004,0.025)
% (1.23, 0.208 ) +- (0.02,0.004)
% ( 0.85,0.159) +- (0.01,0.005)
% };
% \addplot [red, domain=0:3]{0.0928+0.0860*x};
%
% \legend{
% $$y=0.0928+0.0860x$$
% };
% \end{axis}
% \end{tikzpicture}
% \end{center}
%
%Итак, из графика найдём $c_p = (0.86 \pm 0.1) \; \frac{Дж}{К \cdot г} \cdot 29 \frac{г}{моль} = 24.94 \pm 2.29 \; \frac{Дж}{К моль}.$ A также $\alpha = 0.093 \pm 0.018 \; \frac{Вт}{К}.$ К сожалению, теплоёмкость значительно отличается от теоретического значения $29.09 \; \frac{Дж}{К моль}.$ Измерения необходимо было проводить более тщательно, ждать установления термодинамического равновесия более длительное время. Однако не смотря на это, результаты, полученные при обработке данных совпадают (почти) с теоретическими с учётом погрешностей.
%
%Посчитаем доли тепловых потерь в опытах : $\frac{N_{пот}}{N} =\frac{\alpha}{k}$
%
% \begin{center}
% \begin{tabular}{|c|c|}
% \hline
% $q, \; \frac{г}{с}$ & $\frac{N_{пот}}{N}$ \\
% \hline
% 0.085 & $0.59 \pm 0.11$ \\
% \hline
% 0.123 & $0.45 \pm 0.09$\\
% \hline
% 0.2276 & $0.33 \pm 0.06$ \\
% \hline
% \end{tabular}
% \end{center}
%
%\end{enumerate}
\begin{enumerate}
\item Запишем показания комнатной температуры, давления и влажности воздуха.
\begin{table}[h]
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
& Значение & $ \sigma $ \\
\hline
$ T_{0} $, К & 295.45 & 0.1 \\
\hline
$ p $, Па & 99375.15 & 1 \\
\hline
$ \phi $ & 64\% & 1\% \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}
Рассчитываем плотность воздуха $ \rho_{0} $:
$$ \rho_{0} = \frac{2.9 * 10^{-3}*99375.15}{8.31*295.45} \approx 1.17 \; кг/м^{3} $$
Относительную погрешность вычисления плотности воздуха вычислим по формуле:
$$ \frac{\sigma_{\rho_{0}}}{\rho_{0}} = \sqrt{(\frac{\sigma_{P_{0}}}{P_{0}})^{2}+(\frac{\sigma_{\phi}}{\phi})^{2}+(\frac{\sigma_{T}}{T})^{2}} $$
$$ \Rightarrow \sigma_{\rho_{0}} = 0.018 \; \frac{кг}{м^{3}} $$
\item Рассчитываем теоретическую теплоемкость воздуха при постоянном давлении (в предположении, что воздух - смесь двух идеальных двухатомных газов):
$$ C_{p} = \frac{7}{2}R \approx 29.09 \; \frac{Дж}{моль*К} $$
$$ C_{p}^{\mu} = \frac{C_{p}}{\mu} \approx 1 \; \frac{Дж}{г*К} $$
\item С помощью газового счетчика и секундомера измерим расход воздуха для двух случаев, пользуясь формулой \ref{eq5} ($ q_{1} $ и $ q_{2} $). Результаты измерений представлены в таблице.
\begin{table}[h]
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
$ \Delta V $, л & $ \Delta t $, с & $ \frac{\Delta V}{\Delta t} \; , \frac{л}{с} $ & $ q_{1} \; , \frac{г}{с}$ & $ \sigma_{q_{1}кос}, \; \frac{г}{с}*10^{-3} $\\
\hline
5 & 24.9 & 0.2 & 0.234 & 0.47 \\
\hline
5 & 25.6 & 0.2 & 0.234 & 0.47 \\
\hline
5 & 26.0 & 0.19 & 0.222 & 0.45 \\
\hline
\end{tabular}
\caption{Измерение $ q_{1} $}
\end{center}
\end{table}
\begin{table}[h]
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
$ \Delta V $, л & $ \Delta t $, с & $ \frac{\Delta V}{\Delta t} \; , \frac{л}{с} $ & $ q_{2} \; , \frac{г}{с}$ & $ \sigma_{q_{2}кос}, \; \frac{г}{с}*10^{-3} $ \\
\hline
5 & 32.7 & 0.15 & 0.176 & 0.35 \\
\hline
5 & 33.1 & 0.15 & 0.176 & 0.35 \\
\hline
5 & 33.2 & 0.15 & 0.176 & 0.35 \\
\hline
\end{tabular}
\caption{Измерение $ q_{2} $}
\end{center}
\end{table}
Итого, $ q_{1} = \overline{q_{1}} = 0.23 \; г/с $, $ q_{2} = \overline{q_{2}} = 0.176 \; г/с $.
Вычислим случайную погрешность измерения $ q $:
$$ \sigma_{q} = \sqrt{\frac{1}{n(n-1)}\sum_{i=1}^{n}(q_{i}-\overline q)^{2}} $$
Итак, $ \sigma_{q_{1}} = 4*10^{-3} \; \frac{г}{с} $, $ \sigma_{q_{2}} \approx 0\; \frac{г}{с} $
Вычислим величину относительной косвенной погрешности измерения $ q_{1} $ и $ q_{2} $:
$$ \frac{\sigma_{ос}}{q} = \sqrt{(\frac{\sigma_{T_{0}}}{T_{0}})^{2} + (\frac{\sigma_{P_{0}}}{P_{0}})^{2} + (\frac{\sigma_{t}}{t})^{2}} $$
Косвенная погрешность для среднего значения $ q $: $ \sigma_{q_{1}кос} = 0.00046 \; \frac{г}{с} $, $ \sigma_{q_{2}кос} = 0.00035 \; \frac{г}{с}$
Суммарная погрешность:
$$ \sigma_{\overline{q}} = \sqrt{(\sigma_{q})^{2}+(\sigma_{ос})^2 } $$
$$ \sigma_{\overline{q_{1}}} = 0.0006 \; \frac{г}{с} $$
$$ \sigma_{\overline{q_{2}}} = 0.0004 \; \frac{г}{с} $$
\item Оценим величину тока нагревателя $ I_{0} $, требуемого для нагрева воздуха на $ \delta Q = 1К $. Оценим минимальную мощность $ N_{0} $, необходимую для нагрева газа при максимальном расходе $ N_{0} = c_{p}q\Delta T \approx 0.23 \; Вт $ в первом случае, $ N_{0} = c_{p}q\Delta T \approx 0.176 \; Вт $ во втором случае.
Учитывая, что сопротивление проволоки нагревателя составляет приблизительно $ R_{н} \approx 35 \; Ом $ и в процессе опыта практически не меняется, искомое значение тока: $ I_{0}=\sqrt{\frac{N_{0}}{R_{н}}} \approx 0.08 \; А $ (в первом случае), $ I_{0}=\sqrt{\frac{N_{0}}{R_{н}}} \approx 0.07 \; А $(во втором случае).
\item Зафиксируем $ \Delta T(N) $ для двух значений $ q $ (между измерениями калориметр надлежит остудить):
$ q_{1} = 0.236 \; г/с $, $ q_{2} = 0.179 \; г/с $.
\begin{table}[h]
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
$U, В$ & $I, мА$ & $ N $, Вт & $ \varepsilon, мкВ $ & $ \Delta T, К $ \\
\hline
6.105 & 169.81 & 1.0367 & 154 & 3.78 \\
\hline
5.576 & 155.02 & 0.8644 & 127 & 3.12 \\
\hline
5.334 & 148.46 & 0.7919 & 120 & 2.95 \\
\hline
4.947 & 133.77 & 0.6618 & 102 & 2.51 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\caption{Зависимость $ \Delta T(N)$ для $ q_{1} $}
\end{table}
\begin{table}[h]
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
$U, В$ & $I, мА$ & $ N $, Вт & $ \varepsilon, мкВ $ & $ \Delta T, К $ \\
\hline
5.934 & 165.82 & 0.984 & 186 & 4.57 \\
\hline
5.021 & 140.4 & 0.7049 &131 & 3.22 \\
\hline
4.572 & 127.83 & 0.5844 & 108 & 2.65 \\
\hline
4.231 & 118.3 & 0.5005 & 93 & 2.29 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\caption{Зависимость $ \Delta T(N)$ для $ q_{2} $}
\end{table}
\end{enumerate}
\subsection{Обработка данных}
Построим на одном графике зависимости $ \Delta T(N) $ при $ q_{1} $ и $ q_{2} $.
Коэффициент аппроксимирующей прямой найдем по формуле $$ k = \frac{\overline{\Delta T N}}{\overline{N^{2}}} $$
Итого, $ k_{1} = 3.68 $, $ k_{2} = 4.6 $.
$$ \sigma_{k} = \sqrt{\frac{1}{n-1}(\frac{\overline{\Delta T^{2}}}{\overline{N^{2}}}-k^{2})} $$
$$ \sigma_{k_{1}} \approx 0.023 \; \frac{К}{Вт} $$, $$ \sigma_{k_{2}} \approx 0.0188 \; \frac{К}{Вт} $$
\begin{figure}[h!]
\centering
\begin{gnuplot}[terminal=epslatex]
set grid
set xlabel '$ N $, Вт'
set ylabel '$ \Delta T $, C'
set multiplot
set yrange [0:1500]
set xrange [0:7]
set key spacing 2
set key bottom right
set key off
set style line 1 lt 1 pt 7 ps 0.5 lc rgb "red"
set style line 2 lt 1 pt 7 ps 0.5 lc rgb "blue"
set style line 4 lc black
set key box linestyle 4
set key opaque Left
plot "2.1.3(22.8).data" using 1:2 notitle linestyle 1
\end{gnuplot}
\end{figure}
Воспользуемся соотношениями $ C_{p}q_{1} + \alpha = \frac{1}{k_{1}}, \; C_{p}q_{2} + \alpha = \frac{1}{k_{2}} $, откуда имеем
$$ C_{p} = \frac{k_{2}-k_{1}}{k_{2}k_{1}(q_{1}-q_{2})} $$
$$ \alpha = \frac{1}{k_{1}} - C_{p}q_{1} $$
Отсюда имеем: $ C_{p} \approx 1.006 \; \frac{Дж}{г*К} $, $ \alpha \approx 0.042 \; \frac{Вт}{К} $
Определим долю тепловых потерь: $ \frac{N_{пот}}{N} = \frac{\alpha}{C_{p}q + \alpha}$.
$$ \frac{N_{пот}}{N_{1}} \approx 0.153$$
$$ \frac{N_{пот}}{N_{2}} \approx 0.189$$
Определим погрешность измерения $ C_{p} $:
$$ \sigma_{C_{p}} = \sqrt{(\frac{\sigma_{k_{1}}}{k_{1}^{2}(q_{1}-q_{2})})^{2}+(\frac{\sigma_{k_{2}}}{k_{2}^{2}(q_{1}-q_{2})})^{2}+ (\frac{k_{2}-k_{1}}{k_{2}k_{1}(q_{1}-q_{2})^{2}})^{2}(\sigma_{q_{1}}^{2}+\sigma_{q_{2}}^{2})^{2}} $$
Итого, $\sigma_{C_{p}} \approx 0.165 \;\frac{Дж}{г*К}$
$$ \sigma_{\alpha} = \sqrt{(\frac{\sigma_{k_{1}}}{k_{1}^{2}})^{2} + (q_{1}\sigma_{C_{p}})^{2} + (C_{p}\sigma_{q_{1}})^{2} } \approx 0.002 \; \frac{Вт}{К} $$
$$ \frac{\sigma_{N_{пот}}}{N} = \frac{1}{(C_{p}q+\alpha)^{2}}\sqrt{(C_{p}q\sigma_{\alpha})^{2}+(\alpha q \sigma_{C_{p}})^{2} + (\alpha C_{p} \sigma_{q})^{2} }$$
$$ \frac{\sigma_{N_{пот}}}{N_{1}} \approx 0.0217, \; \frac{\sigma_{N_{пот}}}{N_{2}} \approx 0.0257 $$
\subsection{Обсуждение результатов}
Полученное значение $ C_{p} = 1.006 \pm 0.165 \; \frac{Дж}{г*К} $ практически совпадает с табличным $ C_{p}^{табл} = 1.004 \; \frac{Дж}{г*К} $
Предположение о линейной зависимости $ \Delta T (N) $ подтвердилось.
\subsection{Вывод}
Экспериментальным путем мы смогли определить крайне близкое к реальному значение удельной теплоемкости воздуха при постоянном давлении.
\end{document}

@ -0,0 +1,275 @@
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage{cmap}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[warn]{mathtext}
\usepackage{epsf,amsmath,amsfonts,amssymb,amsbsy}
\usepackage[mathscr]{eucal}
\usepackage[english, russian]{babel}
\usepackage{gnuplottex}
\author{Гришаев Григорий С01-119}
\title{Отчёт о выполнении лабораторной работы 2.1.1}
\usepackage[left=2cm,right=2cm,top=2cm,bottom=2cm]{geometry}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{indentfirst}
\graphicspath{{images/}}
\DeclareGraphicsExtensions{.pdf,.png,.jpg}
\usepackage{pgfplots}
\begin{document}
\maketitle
\begin{center}
{\Large Измерение удельной теплоёмкости воздуха при постоянном давлении}
\end{center}
\paragraph*{Цель работы:}измерить повышение температуры воздуха в зависимости от мощности подводимого тепла и расхода при стационарном течении через трубу; исключив тепловые потери, по результатам измерений определить теплоёмкость воздуха при постоянном давлении
\paragraph*{В работе используются:}теплоизолированная стеклянная трубка; электронагреватель; источник питания постоянного тока; амперметр, вольтметр (цифровые мультиметры); термопара, подключенная к микровольтметру; компрессор; газовый счётчик; секундомер.
\section{Теоретические сведения}
Определение теплоёмкости обычно производится в калориметрах. При этом регистрируется количество тепла {Q}, полученное телом, и изменение температуры этого тела $ {\Delta T} $.
Теплоёмкость тела определяется как их отношение:
\begin{equation}
\label{eq1}
C = \frac{\delta Q}{dT} \;
\end{equation}
Необходимо, чтобы количество тепла, затрачиваемое на нагревание исследуемого тела, существенно превосходило тепло, расходуемое на нагревание самого калориметра, а также на потери тепла из установки.
Для увеличения количества нагреваемого газа при неизменных размерах установки в нашей работе исследуемый газ (воздух) продувается через калориметр, внутри которого установлен нагреватель. При этом измеряются мощность нагревателя, масса воздуха, протекающего в единицу времени (расход), и приращение его температуры.
Рассмотрим газ, протекающий стационарно слева направо через трубу постоянного сечения, в которой установлен нагревательный элемент (см. рис. 1). Пусть за некоторое время $ dT $ через калориметр прошла малая порция газа массой $ dm = qdt $, где $ q $ [кг/с] — массовый расход газа в трубе. Если мощность нагрева равна $ N $, мощность тепловых потерь на обмен с окружающей средой $ N_{пот} $, то порция получила тепло $ \delta Q = (N - N_{пот})dt $. С другой стороны, по определению теплоёмкости \ref{eq1}, $ \delta Q = c dm \Delta T$, где $ \Delta T = T_{2} - T_{1}$ - приращение температуры газа, и $ c $ — удельная (на единицу массы) теплоёмкость газа в рассматриваемом процессе. При малых расходах газа и достаточно большом диаметре трубы перепад давления на её концах мал, поэтому можно принять, что $ P_{1} \approx P_{2} = P_{0} $, где $ P_{0} $ — атмосферное давление. Следовательно, в условиях опыта измеряется удельная теплоёмкость при постоянном давлении $ c_{p} $. Таким образом, получаем
\begin{equation}
\label{eq2}
c_{p} = \frac{N - N_{пот}}{q \Delta T};
\end{equation}
\begin{figure}[h!]
\center{\includegraphics[width=0.5\linewidth]{1}}
\caption{Нагрев газа при течении по трубе}
\end{figure}
\subsection{Экспериментальная установка:}
Схема установки изображена на рис.2. Воздух, нагнетаемый компрессором, прокачивается через калориметр. Калориметр представляет собой стеклянную цилиндрическую трубку с двойными стенками, запаянными с торцов.
\begin{figure}[h]
\center{\includegraphics{3}}
\caption{Схема экспериментальной установки}
\end{figure}
Нагреватель в виде намотанной на пенопласт нихромовой проволоки расположен внутри калориметра непосредственно в воздушном потоке. Нагрев проволоки производится от регулируемого источника постоянного тока (ИП).
Напряжение $U$ на нагревателе и ток $I$ через него регистрируются цифровыми мультиметрами. Таким образом, мощность нагрева равна
\begin{equation}
\label{eq3}
N= UI \;
\end{equation}
Для измерения разности температур $\Delta T$ служит медно-константановая
термопара. Один спай термопары расположен в струе воздуха, входящего в
калориметр, и находится при комнатной температуре, а второй — в струе выходящего нагретого воздуха. Константановая проволока термопары расположена внутри калориметра, а медные проводники подключены к цифровому вольтметру. Возникающая в термопаре ЭДС $\varepsilon$ пропорциональна разности температур $\Delta T$ спаев:
\begin{equation}
\label{eq4}
\varepsilon =\beta \Delta T \;
\end{equation}
где $\beta = 40.7 \frac{мкВ}{^\circ C}$ — чувствительность медно-константановой термопары в рабочем диапазоне температур (2030 $^\circ C$ ). ЭДС регистрируется с помощью микровольтметра.
Объём воздуха, прошедшего через калориметр, измеряется газовым счётчиком ГС. Для регулировки расхода служит кран К. Время $ \Delta t $ прохождения некоторого объема $ \Delta V $ воздуха измеряется секундомером. Объёмный расход равен $ \Delta V/\Delta T $, массовый расход может быть найден как
\begin{equation}
\label{eq5}
q = \rho_{o}\frac{\Delta V}{\Delta t} \;
\end{equation}
где $ \rho_{0} $ — плотность воздуха при комнатной температуре, которая в свою очередь может быть получена из уравнения Менделеева–Клапейрона: $ \rho_{0} = \frac{\mu P_{0}}{R T_{0}} $, где $ P_{0} $ — атмосферное давление, $ T_{0} $ — комнатная температура (в Кельвинах), $ \mu $= 29,0 г/моль — средняя молярная масса (сухого) воздуха.
Учитывая особенности устройства калориметра, следует ожидать, что мощность нагревателя расходуется не только на нагрев массы прокачиваемого воздуха, но и частично теряется за счет нагрева внутренних стенок термостата и рассеяния тепла через торцы термостата. Можно предположить, что при небольшом нагреве ($ \Delta T << T_{0} $) мощность потерь тепла $ N_{пот} $ прямо
пропорциональна разности температур:
\begin{equation}
\label{eq6}
N_{пот} = \alpha \Delta T \;
\end{equation}
где $ \alpha $ — некоторая константа. При этом условии основное соотношение \ref{eq2} принимает вид
\begin{equation}
\label{eq7}
N = (c_{p}q + \alpha)\Delta T \;
\end{equation}
Следовательно, при фиксированном расходе воздуха ($ q $ = const) подводимая мощность и разность температур связаны прямой пропорциональностью ($ \Delta T{N} $ — линейная функция).
\subsection{Оборудование и инструментальные погрешности}
Для измерения $ \varepsilon $ использовался вольтметр универсальный В7-78/1, его абсолютная погрешность равна $ \pm (0.005 \frac{\varepsilon}{100} + 3.5) \; мкВ$.
Для измерения $ U $ использовался цифровой универсальный вольтметр GDM-8145, абсолютная погрешность которого равна $ \pm (0.0003U \pm 4 \; мВ) $.
Его же мы использовали для измерения $ I $, абсолютная погрешность: $ \pm (0.002I+20 \; мкА) $.
\subsection{Ход работы}
\begin{enumerate}
\item Запишем показания комнатной температуры, давления и влажности воздуха.
\begin{table}[h]
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
& Значение & $ \sigma $ \\
\hline
$ T_{0} $, К & 295.45 & 0.1 \\
\hline
$ p $, Па & 99375.15 & 1 \\
\hline
$ \phi $ & 64\% & 1\% \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}