|
|
\documentclass[a4paper,12pt]{article} % добавить leqno в [] для нумерации слева
|
|
|
\usepackage[a4paper,top=1.3cm,bottom=2cm,left=1.5cm,right=1.5cm,marginparwidth=0.75cm]{geometry}
|
|
|
%%% Работа с русским языком
|
|
|
\usepackage{cmap} % поиск в PDF
|
|
|
\usepackage[warn]{mathtext} % русские буквы в фомулах
|
|
|
\usepackage[T2A]{fontenc} % кодировка
|
|
|
\usepackage[utf8]{inputenc} % кодировка исходного текста
|
|
|
\usepackage[english,russian]{babel} % локализация и переносы
|
|
|
%\usepackage{physics}
|
|
|
\usepackage{multirow}
|
|
|
|
|
|
%%% Нормальное размещение таблиц (писать [H] в окружении таблицы)
|
|
|
\usepackage{float}
|
|
|
\restylefloat{table}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\usepackage{graphicx}
|
|
|
|
|
|
\usepackage{wrapfig}
|
|
|
\usepackage{tabularx}
|
|
|
|
|
|
\usepackage{hyperref}
|
|
|
\usepackage[rgb]{xcolor}
|
|
|
\hypersetup{
|
|
|
colorlinks=true,urlcolor=blue
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
\usepackage{pgfplots}
|
|
|
\pgfplotsset{compat=1.9}
|
|
|
|
|
|
%%% Дополнительная работа с математикой
|
|
|
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,amsthm,mathtools} % AMS
|
|
|
\usepackage{icomma} % "Умная" запятая: $0,2$ --- число, $0, 2$ --- перечисление
|
|
|
|
|
|
%% Номера формул
|
|
|
\mathtoolsset{showonlyrefs=true} % Показывать номера только у тех формул, на которые есть \eqref{} в тексте.
|
|
|
|
|
|
%% Шрифты
|
|
|
\usepackage{euscript} % Шрифт Евклид
|
|
|
\usepackage{mathrsfs} % Красивый матшрифт
|
|
|
|
|
|
%% Свои команды
|
|
|
\DeclareMathOperator{\sgn}{\mathop{sgn}}
|
|
|
|
|
|
%% Перенос знаков в формулах (по Львовскому)
|
|
|
\newcommand*{\hm}[1]{#1\nobreak\discretionary{}
|
|
|
{\hbox{$\mathsurround=0pt #1$}}{}}
|
|
|
|
|
|
\date{\today}
|
|
|
|
|
|
\usepackage{gensymb}
|
|
|
|
|
|
\author{Гришаев Григорий С01-119}
|
|
|
\title{Лабораторная работа 2.5.1}
|
|
|
\date{\today}
|
|
|
|
|
|
\begin{document}
|
|
|
|
|
|
\maketitle
|
|
|
|
|
|
\section{Введение}
|
|
|
\textbf{Цель работы:} \begin{enumerate}
|
|
|
\item измерение температурной зависимости коэффициента поверхностного натяжения дистиллированной воды с использованием известного коэффициента поверхностного натяжения спирта;
|
|
|
\item определение полной поверхностной энергии и теплоты, необходимой для изотермического образования единицы поверхности жидкости при различной температуре.
|
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
|
|
\textbf{В работе используются:} прибор Ребиндера с термостатом и микроманометром; исследуемые жидкости; стаканы; микроскоп.
|
|
|
\section{Теоретические сведения}
|
|
|
|
|
|
Наличие поверхностного слоя приводит к различию давлений по разные стороны от искривленной границы раздела двух сред. Для сферического пузырька с воздухом внутри жидкости избыточное давление даётся формулой Лапласа:
|
|
|
|
|
|
\begin{equation}\label{key}
|
|
|
\Delta P = P_{int} - P_{ext} = \frac{2\sigma}{r},
|
|
|
\end{equation}
|
|
|
где $ \sigma $ -- коэффициент поверхностного натяжения, $ P_{int} $ и $ P_{ext} $ -- давление внутри пузырька и снаружи, $ r $ -- радиус кривизны поверхности раздела двух фаз. Эта формула лежит в основе предлагаемого метода определения коэффициента поверхностного натяжения жидкости. Измеряется давление $ \Delta P $, необходимое для выталкивания в жидкость пузырька воздуха.
|
|
|
|
|
|
\section{Экспериментальная установка}
|
|
|
|
|
|
\begin{figure}[H]
|
|
|
\begin{center}
|
|
|
\includegraphics[width=15cm]{ust.jpg}
|
|
|
\caption{Рисунок экспериментальной установки}\label{img:ust}
|
|
|
\end{center}
|
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
|
|
Исследуемая жидкость (дистиллированная вода) наливается в сосуд (колбу) $ B $ (рис. \ref{img:ust}). Тестовая жидкость (этиловый спирт) наливается в сосуд $ E $. При измерениях колбы герметично закрываются пробками. Через одну из двух пробок проходит полая металлическая игла $ С $. Этой пробкой закрывается сосуд, в котором проводятся измерения. Верхний конец иглы открыт в атмосферу, а нижний погружен в жидкость. Другой сосуд герметично закрывается второй пробкой. При создании достаточного разряжения воздуха в колбе с иглой пузырьки воздуха начинают пробулькивать через жидкость. Поверхностное натяжение можно определить по величине разряжения $ \Delta P $ \eqref{key}, необходимого для прохождения пузырьков (при известном радиусе иглы).
|
|
|
|
|
|
Разряжение в системе создается с помощью аспиратора $ A $. Кран $ K_2 $ разделяет две полости аспиратора. Верхняя полость при закрытом кране $ K_2 $ заполняется водой. Затем кран $ K_2 $ открывают и заполняют водой нижнюю полость аспиратора. Разряжение воздуха создается в нижней полости при открывании крана $ K_1 $, когда вода вытекает из неё по каплям. В колбах $ В $ и $ С $, соединённых трубками с нижней полостью аспиратора, создается такое же пониженное давление. Разность давлений в полостях с разряженным воздухом и атмосферой измеряется спиртовым микроманометром.
|
|
|
|
|
|
Для стабилизации температуры исследуемой жидкости через рубашку $ D $ колбы $ В $ непрерывно прогоняется вода из термостата.
|
|
|
|
|
|
Обычно кончик иглы лишь касается поверхности жидкости, чтобы исключить влияние гидростатического давления столба жидкости. Однако при измерении температурной зависимости коэффициента поверхностного натяжения возникает ряд сложностей. Во-первых, большая теплопроводность металлической трубки приводит к тому, что температура на конце трубки заметно ниже, чем в глубине жидкости. Во-вторых, тепловое расширение поднимает уровень жидкости при увеличении температуры.
|
|
|
|
|
|
Обе погрешности можно устранить, погрузив кончик трубки до самого дна. Полное давление, измеренное при этом микроманометром, равно \[ P = \Delta P + \rho g h.\] Заметим, что $ \rho gh $ от температуры практически не зависит, так как подъём уровня жидкости компенсируется уменьшением её плотности (произведение $ \rho g $ определяется массой всей жидкости и поэтому постоянно). Величину $ \rho g h $ следует измерить двумя способами.
|
|
|
|
|
|
Во-первых, замерить величину $ P_1= \Delta P' $, когда кончик трубки только касается поверхности жидкости. Затем при этой же температуре опустить иглу до дна и замерить $ P_2= \rho gh + \Delta P'' $ ($ \Delta P' $, $ \Delta P'' $ -- давление Лапласа). Из-за несжимаемости жидкости можно положить $ \Delta P' = \Delta P'' $ и тогда \[ \rho gh= P_2 - P_1. \]
|
|
|
|
|
|
Во-вторых, при измерениях $ P_1 $ и $ P_2 $ замерить линейкой глубину погружения иглы $ h $. Это можно сделать, замеряя расстояние между верхним концом иглы и любой неподвижной частью прибора при положении иглы на поверхности и в глубине колбы.
|
|
|
\newpage
|
|
|
\section{Ход работы}
|
|
|
|
|
|
\subsection{Измерение диаметра иглы}
|
|
|
|
|
|
Измерим максимальное давление $ \Delta P_{alc} $ при пробулькивании пузырьков воздуха через спирт. Результаты измерений занесём в таблицу \ref{tab:alcohol}.
|
|
|
|
|
|
\begin{table}[H]
|
|
|
\centering
|
|
|
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
|
|
|
\hline
|
|
|
№ & $ P' $, дел. & $ P $, Па & $ \langle P \rangle $, Па & $ \sigma_{P} $, Па \\ \hline
|
|
|
1 & 47 & 92,2 & \multirow{5}{*}{93,1} & \multirow{5}{*}{2,0} \\ \cline{1-3}
|
|
|
2 & 48 & 94,2 & & \\ \cline{1-3}
|
|
|
3 & 48 & 94,2 & & \\ \cline{1-3}
|
|
|
4 & 47 & 92,2 & & \\ \cline{1-3}
|
|
|
5 & 47 & 92,2 & & \\ \hline
|
|
|
\end{tabular}
|
|
|
\caption{Результаты измерений в спирте}
|
|
|
\label{tab:alcohol}
|
|
|
\end{table}
|
|
|
|
|
|
Учтём, что показания микроманометра связаны с давлением следующим соотношением: \[ P=P' \cdot 0,2 \cdot 9,81, \] где $ P' $ -- колличество делений шкалы, а константы остаются постоянными во время всей работы и определяются исходя из паспорта устройства.
|
|
|
|
|
|
Вычислим среднее значение измеренного давления. Для этого воспользуемся следующей формулой:
|
|
|
|
|
|
\begin{equation}\label{mid}
|
|
|
\langle P \rangle = \frac{\sum\limits_{k=1}^{N} P_k}{N} \approx 93,1 \text{ Па},
|
|
|
\end{equation}
|
|
|
где $ N $ -- число проведённых измерений.
|
|
|
|
|
|
Также вычислим случайную погрешность измерений по формуле
|
|
|
|
|
|
\begin{equation}\label{occasion}
|
|
|
\sigma_{P}^{\text{случ}} = \sqrt{\frac{1}{N(N-1)}\sum\limits_{k=1}^N\left(P_k-\langle P \rangle\right)^2} \approx 0,5 \text{ Па}.
|
|
|
\end{equation}
|
|
|
|
|
|
Систематическую погрешность определим из расчёта, что погрешность измерения составила $ 1 $ деление прибора, или же \underline{$ \sigma_{P}^\text{сист} \approx 1,9 $ Па}.
|
|
|
|
|
|
Полная погрешность измерений определяется по формуле:
|
|
|
|
|
|
\begin{equation}\label{full_pogr}
|
|
|
\sigma_{P}=\sqrt{(\sigma_{P}^\text{сист})^2 + (\sigma_{P}^\text{случ})^2} \approx 2,0 \text{ Па}.
|
|
|
\end{equation}
|
|
|
|
|
|
Итого получаем \underline{ $ \Delta P_{alc} = (93,1 \pm 2,0) \text{ Па},$} \quad $(\varepsilon = 2,2 \%) $.
|
|
|
|
|
|
\medskip
|
|
|
|
|
|
Согласно ГОСТ 8.428-81 коэффициент поверхностного натяжения этилового спирта при комнатной температуре равен $ \sigma_{alc} = 22,4 $ мН/м. По полученным результатам измерения и при помощи \eqref{key} вычисляем диаметр иглы по формуле:
|
|
|
|
|
|
\label{diametr}
|
|
|
|
|
|
\begin{equation}\label{igla}
|
|
|
d=\frac{4\sigma_{alc}}{\Delta P_{alc}} \approx 0,96 \text{ мм}.
|
|
|
\end{equation}
|
|
|
|
|
|
Также вычисляем погрешность полученного результата:
|
|
|
|
|
|
\begin{equation}\label{igla_pogr}
|
|
|
\sigma_d=d\cdot\varepsilon_{\Delta P_{alc}} \approx 0,02 \text{ мм}.
|
|
|
\end{equation}
|
|
|
|
|
|
Таким образом, получаем окончательный результат измерения диаметра иглы косвенным способом:
|
|
|
\begin{itemize}
|
|
|
\item $\underline{ d = (0,96 \pm 0,02) \text{ мм},} \: (\varepsilon = 2,2\%). $
|
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
|
|
Также проведём измерение диаметра иглы при помощи оптического микроскопа.
|
|
|
|
|
|
По результатам прямого измерения получаем $ \underline{d = (1,00 \pm 0,05) \text{ мм}}, \: (\varepsilon = 5\%) $.
|
|
|
|
|
|
\medskip
|
|
|
|
|
|
Таким образом, диаметр иглы, измеренный двумя различными способами, совпадает в пределах погрешности, что может говорить о справедливости формулы, представленной в теоретических сведениях, а также об исправной работе экспериментальной установки.
|
|
|
|
|
|
\subsection{Определения поправки при измерении давления для погруженной в воду иглы}
|
|
|
|
|
|
Перенесём предварительно промытую и просушенную от спирта иглу в колбу с дистиллированной водой. Измерим максимальное давление $ P_1 $ при пробулькивании пузырьков, когда игла лишь касается поверхности воды. Измерите расстояние между верхним концом иглы и любой неподвижной часть прибора $ h_1 $.
|
|
|
|
|
|
Утопим иглу в воду. Измерим $ h_2 $. Также измерим максимальное давление в пузырьках $ P_2 $. Полученные результаты заносим в таблицу \ref{tab:popravka}.
|
|
|
|
|
|
% Please add the following required packages to your document preamble:
|
|
|
% \usepackage{multirow}
|
|
|
\begin{table}[H]
|
|
|
\centering
|
|
|
\begin{tabular}{ccccccc}
|
|
|
\hline
|
|
|
\multicolumn{1}{|c|}{№} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{$ P_1 $, дел.} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{$ P_1 $, Па} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{$ \langle P_1 \rangle $, Па} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{$ \sigma_{P_1} $, Па} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{$ h_1 $, мм} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{$ \sigma_{h_1} $, мм} \\ \hline
|
|
|
\multicolumn{1}{|c|}{1} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{131} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{257,0} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{\multirow{6}{*}{257,0}} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{\multirow{6}{*}{1,9}} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{\multirow{6}{*}{54,0}} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{\multirow{6}{*}{0,5}} \\ \cline{1-3}
|
|
|
\multicolumn{1}{|c|}{2} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{131} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{257,0} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} \\ \cline{1-3}
|
|
|
\multicolumn{1}{|c|}{3} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{131} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{257,0} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} \\ \cline{1-3}
|
|
|
\multicolumn{1}{|c|}{4} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{131} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{257,0} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} \\ \cline{1-3}
|
|
|
\multicolumn{1}{|c|}{5} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{131} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{257,0} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} \\ \cline{1-3}
|
|
|
\multicolumn{1}{|c|}{6} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{131} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{257,0} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} \\ \hline
|
|
|
&
|
|
|
&
|
|
|
&
|
|
|
&
|
|
|
&
|
|
|
&
|
|
|
\\ \hline
|
|
|
\multicolumn{1}{|c|}{№} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{$ P_2 $, дел.} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{$ P_2 $, Па} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{$ \langle P_2 \rangle $, Па} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{$ \sigma_{P_2} $, Па} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{$ h_2 $, мм} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{$ \sigma_{h_2} $, мм} \\ \hline
|
|
|
\multicolumn{1}{|c|}{1} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{190} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{372,2} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{\multirow{6}{*}{374,4}} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{\multirow{6}{*}{1,9}} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{\multirow{6}{*}{42,0}} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{\multirow{6}{*}{0,5}} \\ \cline{1-3}
|
|
|
\multicolumn{1}{|c|}{2} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{191} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{374,7} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} \\ \cline{1-3}
|
|
|
\multicolumn{1}{|c|}{3} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{191} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{374,7} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} \\ \cline{1-3}
|
|
|
\multicolumn{1}{|c|}{4} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{191} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{374,7} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} \\ \cline{1-3}
|
|
|
\multicolumn{1}{|c|}{5} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{191} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{374,7} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} \\ \cline{1-3}
|
|
|
\multicolumn{1}{|c|}{6} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{191} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{374,7} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} \\ \hline
|
|
|
\end{tabular}
|
|
|
\caption{Определение поправки к давлению}
|
|
|
\label{tab:popravka}
|
|
|
\end{table}
|
|
|
|
|
|
Исходя из экспериментальных данных, определяем среднее значение давления $ \langle P \rangle $ и погрешность измерения $ \sigma_{P} $ по формулам \eqref{mid}, \eqref{occasion} и \eqref{full_pogr}.
|
|
|
|
|
|
По полученным данным определяем \[ P_2-P_1 = 117,4 \text{ Па}. \]
|
|
|
|
|
|
Также вычисляем погрешность: \begin{equation}\label{pogr_sum}
|
|
|
\sigma_{\Delta P} = \sqrt{\sigma^2_{P_1}+\sigma^2_{P_2}} \approx 2,8 \text{ Па}.
|
|
|
\end{equation}
|
|
|
|
|
|
Таким образом, получаем $ \underline{\Delta P = (117,4 \pm 2,8) \text{ Па},} \: (\varepsilon = 2,4\%).$
|
|
|
|
|
|
По полученному значению $ \Delta P $ можем рассчитать $ \Delta h $ по следующей формуле: \[ \Delta h = \frac{\Delta P}{\rho g} \approx 11,9 \text{ мм}, \] где $ \rho = 1000 $ кг/$ \text{м}^3 $ -- плотность воды и $ g = 9,81 $ м/$ \text{с}^2 $ -- ускорение свободного падения.
|
|
|
|
|
|
\medskip
|
|
|
|
|
|
При этом погрешность нашего измерения равна \[ \sigma_{\Delta h} = \Delta h \cdot \varepsilon_{\Delta P} \approx 0,3 \text{ мм}. \]
|
|
|
|
|
|
Таким образом, получаем $ \underline{\Delta h = (11,9 \pm 0,3) \text{ мм}}, \: (\varepsilon = 2,4\%). $
|
|
|
|
|
|
\medskip
|
|
|
|
|
|
Заметим, что полученный результат в пределах погрешности совпадает с результатом, полученном прямым измерением $ \underline{\Delta h' = (12,0 \pm 0,7) \text{ мм},} \: (\varepsilon = 5,9\%). $
|
|
|
|
|
|
Значит, в ходе дальнейших измерений мы будем делать поправку \label{popravka} $ \underline{\Delta P = (117,4 \pm 2,8) \text{ Па},}$ на~добавочное давление со стороны столба жидкости.
|
|
|
|
|
|
\subsection{Измерение температурной зависимости коэффициента поверхностного натяжения}
|
|
|
|
|
|
Снимем температурную зависимость $ \sigma(T) $ дистиллированной воды. Для этого включим термостат и подождём, пока нужная нам температура не стабилизируется. После этого проведём измерение давления. Для уменьшения погрешности опыта замер давления при фиксированной температуре проведём несколько раз. Результаты измерений занесём в таблицу \ref{tab:pov}.
|
|
|
|
|
|
% Please add the following required packages to your document preamble:
|
|
|
% \usepackage{multirow}
|
|
|
\begin{table}[H]
|
|
|
\centering
|
|
|
\begin{tabular}{ccccccc}
|
|
|
\hline
|
|
|
\multicolumn{1}{|c|}{$ T $, К} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{$ P' $, дел} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{$ P' $, Па} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{$ \langle P' \rangle $, Па} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{$ \sigma_{P'} $, Па} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{$ P $, Па} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{$ \sigma_P $, Па} \\ \hline
|
|
|
\multicolumn{1}{|c|}{\multirow{5}{*}{302}} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{190} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{372,8} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{\multirow{5}{*}{374,3}} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{\multirow{5}{*}{2,0}} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{\multirow{5}{*}{257,0}} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{\multirow{5}{*}{3,4}} \\ \cline{2-3}
|
|
|
\multicolumn{1}{|c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{191} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{374,7} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} \\ \cline{2-3}
|
|
|
\multicolumn{1}{|c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{191} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{374,7} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} \\ \cline{2-3}
|
|
|
\multicolumn{1}{|c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{191} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{374,7} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} \\ \cline{2-3}
|
|
|
\multicolumn{1}{|c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{191} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{374,7} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} \\ \hline
|
|
|
&
|
|
|
&
|
|
|
&
|
|
|
&
|
|
|
&
|
|
|
&
|
|
|
\\ \hline
|
|
|
\multicolumn{1}{|c|}{$ T $, К} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{$ P' $, дел} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{$ P' $, Па} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{$ \langle P' \rangle $, Па} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{$ \sigma_{P'} $, Па} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{$ P $, Па} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{$ \sigma_P $, Па} \\ \hline
|
|
|
\multicolumn{1}{|c|}{\multirow{5}{*}{307}} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{189} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{370,8} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{\multirow{5}{*}{370,8}} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{\multirow{5}{*}{2,0}} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{\multirow{5}{*}{253,4}} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{\multirow{5}{*}{3,4}} \\ \cline{2-3}
|
|
|
\multicolumn{1}{|c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{189} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{370,8} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} \\ \cline{2-3}
|
|
|
\multicolumn{1}{|c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{189} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{370,8} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} \\ \cline{2-3}
|
|
|
\multicolumn{1}{|c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{189} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{370,8} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} \\ \cline{2-3}
|
|
|
\multicolumn{1}{|c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{189} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{370,8} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} \\ \hline
|
|
|
&
|
|
|
&
|
|
|
&
|
|
|
&
|
|
|
&
|
|
|
&
|
|
|
\\ \hline
|
|
|
\multicolumn{1}{|c|}{$ T $, К} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{$ P' $, дел} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{$ P' $, Па} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{$ \langle P' \rangle $, Па} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{$ \sigma_{P'} $, Па} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{$ P $, Па} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{$ \sigma_P $, Па} \\ \hline
|
|
|
\multicolumn{1}{|c|}{\multirow{5}{*}{312}} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{187} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{366,9} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{\multirow{5}{*}{366,9}} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{\multirow{5}{*}{2,0}} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{\multirow{5}{*}{249,5}} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{\multirow{5}{*}{3,4}} \\ \cline{2-3}
|
|
|
\multicolumn{1}{|c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{187} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{366,9} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} \\ \cline{2-3}
|
|
|
\multicolumn{1}{|c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{187} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{366,9} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} \\ \cline{2-3}
|
|
|
\multicolumn{1}{|c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{187} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{366,9} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} \\ \cline{2-3}
|
|
|
\multicolumn{1}{|c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{187} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{366,9} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} \\ \hline
|
|
|
&
|
|
|
&
|
|
|
&
|
|
|
&
|
|
|
&
|
|
|
&
|
|
|
\\ \hline
|
|
|
\multicolumn{1}{|c|}{$ T $, К} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{$ P' $, дел} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{$ P' $, Па} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{$ \langle P' \rangle $, Па} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{$ \sigma_{P'} $, Па} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{$ P $, Па} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{$ \sigma_P $, Па} \\ \hline
|
|
|
\multicolumn{1}{|c|}{\multirow{5}{*}{317}} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{185} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{363,0} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{\multirow{5}{*}{363,4}} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{\multirow{5}{*}{2,0}} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{\multirow{5}{*}{246,0}} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{\multirow{5}{*}{3,4}} \\ \cline{2-3}
|
|
|
\multicolumn{1}{|c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{185} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{363,0} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} \\ \cline{2-3}
|
|
|
\multicolumn{1}{|c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{186} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{364,9} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} \\ \cline{2-3}
|
|
|
\multicolumn{1}{|c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{185} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{363,0} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} \\ \cline{2-3}
|
|
|
\multicolumn{1}{|c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{185} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{363,0} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} \\ \hline
|
|
|
&
|
|
|
&
|
|
|
&
|
|
|
&
|
|
|
&
|
|
|
&
|
|
|
\\ \hline
|
|
|
\multicolumn{1}{|c|}{$ T $, К} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{$ P' $, дел} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{$ P' $, Па} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{$ \langle P' \rangle $, Па} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{$ \sigma_{P'} $, Па} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{$ P $, Па} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{$ \sigma_P $, Па} \\ \hline
|
|
|
\multicolumn{1}{|c|}{\multirow{5}{*}{322}} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{184} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{361,0} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{\multirow{5}{*}{360,6}} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{\multirow{5}{*}{2,0}} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{\multirow{5}{*}{243,2}} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{\multirow{5}{*}{3,4}} \\ \cline{2-3}
|
|
|
\multicolumn{1}{|c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{184} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{361,0} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} \\ \cline{2-3}
|
|
|
\multicolumn{1}{|c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{183} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{359,0} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} \\ \cline{2-3}
|
|
|
\multicolumn{1}{|c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{184} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{361,0} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} \\ \cline{2-3}
|
|
|
\multicolumn{1}{|c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{184} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{361,0} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} \\ \hline
|
|
|
&
|
|
|
&
|
|
|
&
|
|
|
&
|
|
|
&
|
|
|
&
|
|
|
\\ \hline
|
|
|
\multicolumn{1}{|c|}{$ T $, К} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{$ P' $, дел} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{$ P' $, Па} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{$ \langle P' \rangle $, Па} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{$ \sigma_{P'} $, Па} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{$ P $, Па} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{$ \sigma_P $, Па} \\ \hline
|
|
|
\multicolumn{1}{|c|}{\multirow{5}{*}{327}} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{183} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{359,0} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{\multirow{5}{*}{358,3}} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{\multirow{5}{*}{2,0}} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{\multirow{5}{*}{240,9}} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{\multirow{5}{*}{3,4}} \\ \cline{2-3}
|
|
|
\multicolumn{1}{|c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{182} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{357,1} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} \\ \cline{2-3}
|
|
|
\multicolumn{1}{|c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{183} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{359,0} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} \\ \cline{2-3}
|
|
|
\multicolumn{1}{|c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{183} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{359,0} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} \\ \cline{2-3}
|
|
|
\multicolumn{1}{|c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{182} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{357,1} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} \\ \hline
|
|
|
&
|
|
|
&
|
|
|
&
|
|
|
&
|
|
|
&
|
|
|
&
|
|
|
\\ \hline
|
|
|
\multicolumn{1}{|c|}{$ T $, К} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{$ P' $, дел} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{$ P' $, Па} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{$ \langle P' \rangle $, Па} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{$ \sigma_{P'} $, Па} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{$ P $, Па} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{$ \sigma_P $, Па} \\ \hline
|
|
|
\multicolumn{1}{|c|}{\multirow{5}{*}{332}} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{181} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{355,1} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{\multirow{5}{*}{354,7}} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{\multirow{5}{*}{2,0}} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{\multirow{5}{*}{237,3}} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{\multirow{5}{*}{3,4}} \\ \cline{2-3}
|
|
|
\multicolumn{1}{|c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{181} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{355,1} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} \\ \cline{2-3}
|
|
|
\multicolumn{1}{|c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{181} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{355,1} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} \\ \cline{2-3}
|
|
|
\multicolumn{1}{|c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{181} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{355,1} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} \\ \cline{2-3}
|
|
|
\multicolumn{1}{|c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{180} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{353,2} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} &
|
|
|
\multicolumn{1}{c|}{} \\ \hline
|
|
|
\end{tabular}
|
|
|
\caption{Измерение температурной зависимости коэффициента поверхностного натяжения}
|
|
|
\label{tab:pov}
|
|
|
\end{table}
|
|
|
\newpage
|
|
|
Исходя из экспериментальных данных, определяем среднее значение давления $ \langle P' \rangle $ и погрешность измерения $ \sigma_{P'} $ (для давления без учёта поправки) по формулам \eqref{mid}, \eqref{occasion} и \eqref{full_pogr}.
|
|
|
|
|
|
Также учитываем поправку к измеренному давлению, которая была вычислена в \ref{popravka}. Погрешность после её учёта вычисляем по формуле \eqref{pogr_sum}. Полученные результаты также заносим в таблицу \ref{tab:pov}.
|
|
|
|
|
|
По полученным данным вычислим коэффициент поверхностного натяжения для каждой из температур по формуле
|
|
|
|
|
|
\begin{equation}\label{sigma}
|
|
|
\sigma = \frac{Pd}{4},
|
|
|
\end{equation}
|
|
|
где $ d $ -- диаметр иглы, вычисленный в \ref{diametr}. Погрешность такого результата вычисляется по следующей формуле:
|
|
|
|
|
|
\begin{equation}\label{otn_pogr}
|
|
|
\sigma_\sigma = \sigma\sqrt{\varepsilon^2_P + \varepsilon^2_d}.
|
|
|
\end{equation}
|
|
|
|
|
|
Полученные результаты заносим в таблицу \ref{tab:temp}.
|
|
|
|
|
|
\begin{table}[H]
|
|
|
\centering
|
|
|
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
|
|
|
\hline
|
|
|
№ & $ T $, К & $ \sigma_T, К $ & $ \sigma $, мН/м & $ \sigma_\sigma $, мН/м \\ \hline
|
|
|
1 & 302,0 & 0,1 & 61,9 & 1,6 \\ \hline
|
|
|
2 & 307,0 & 0,1 & 61,0 & 1,6 \\ \hline
|
|
|
3 & 312,0 & 0,1 & 60,1 & 1,5 \\ \hline
|
|
|
4 & 317,0 & 0,1 & 59,2 & 1,5 \\ \hline
|
|
|
5 & 322,0 & 0,1 & 58,6 & 1,5 \\ \hline
|
|
|
6 & 327,0 & 0,1 & 58,0 & 1,5 \\ \hline
|
|
|
7 & 332,0 & 0,1 & 57,2 & 1,5 \\ \hline
|
|
|
\end{tabular}
|
|
|
\caption{Зависимость коэффициента пов. натяжения от $T$}
|
|
|
\label{tab:temp}
|
|
|
\end{table}
|
|
|
|
|
|
Полученную зависимость наносим на график (рис. ). Вычислим коэффициенты аппроксимирующей прямой $ \sigma = kT + b $, где $ \displaystyle k = \frac{d\sigma}{dT} $, используя метод наименьших квадратов:
|
|
|
|
|
|
\[ k = \frac{\langle T\sigma \rangle - \langle T \rangle \langle \sigma \rangle}{\langle T^2 \rangle - \langle T \rangle ^2} \approx -0,155\text{ } \frac{\text{мН}}{\text{м}\cdot\text{К}},\]
|
|
|
|
|
|
\[ b = \langle \sigma \rangle - k\langle T \rangle \approx 108,6\text{ } \frac{\text{мН}}{\text{м}}. \]
|
|
|
|
|
|
Случайные погрешности определения этих коэффициентов вычислим по следующим формулам:
|
|
|
|
|
|
\[ \sigma^\text{случ}_k = \sqrt{\frac{1}{N-2} \left(\frac{\left\langle\left(\sigma - \langle \sigma\right\rangle\right)^2 \rangle}{\left\langle\left(T - \langle T\right\rangle\right)^2 \rangle}\right)-k^2} \approx 0,005 \text{ } \frac{\text{мН}}{\text{м}\cdot\text{К}},\]
|
|
|
|
|
|
\[ \sigma^\text{случ}_b=\sigma^\text{случ}_k\sqrt{\left\langle x^2 \right\rangle} \approx 1,7\text{ } \frac{\text{мН}}{\text{м}}. \]
|
|
|
|
|
|
Систематические погрешности оценим по следующим формулам:
|
|
|
|
|
|
\[ \sigma^\text{сист}_k = |k|\sqrt{\varepsilon^2_T+\varepsilon^2_\sigma} \approx 0,004 \text{ } \frac{\text{мН}}{\text{м}\cdot\text{К}}, \]
|
|
|
\[ \sigma^\text{сист}_b = |b|\sqrt{\varepsilon^2_T+\varepsilon^2_\sigma} \approx 2,8 \text{ } \frac{\text{мН}}{\text{м}}. \]
|
|
|
|
|
|
\newpage
|
|
|
|
|
|
Таким образом, полные погрешности измерений определяются следующими соотношениями:
|
|
|
\[ \sigma_k = \sqrt{(\sigma_k^\text{сист})^2 + (\sigma_k^\text{случ})^2} \approx 0,006 \text{ } \frac{\text{мН}}{\text{м}\cdot\text{К}},\]
|
|
|
\[ \sigma_b = \sqrt{(\sigma_b^\text{сист})^2 + (\sigma_b^\text{случ})^2} \approx 3,3 \text{ } \frac{\text{мН}}{\text{м}}. \]
|
|
|
|
|
|
Таким образом, окончательно получаем:
|
|
|
\begin{itemize}
|
|
|
\item $ \displaystyle \underline{k = \frac{d\sigma}{dT} = (-0,155 \pm 0,006) \text{ } \frac{\text{мН}}{\text{м}\cdot\text{К}}, \: (\varepsilon = 4,2\%);} $
|
|
|
\item $ \displaystyle \underline{b = (108,6 \pm 3,3) \text{ } \frac{\text{мН}}{\text{м}}, \: (\varepsilon = 2,9\%).}$
|
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
|
\begin{axis}[
|
|
|
title={Графики зависимостей},
|
|
|
xlabel={$ T $, \textdegree К},
|
|
|
ylabel={$\sigma$, мН/м},
|
|
|
legend pos=north east,
|
|
|
xmajorgrids=true,
|
|
|
ymajorgrids=true,
|
|
|
grid style=dashed,
|
|
|
width = 520,
|
|
|
height = 350,
|
|
|
xmin = 300,
|
|
|
xmax = 335,
|
|
|
ymin =40,
|
|
|
ymax =135,
|
|
|
]
|
|
|
\legend{
|
|
|
,,,
|
|
|
$ \sigma(T) $,
|
|
|
$ q = - T \frac{d\sigma}{dT} $,
|
|
|
$ \frac{U}{F} = (\sigma - T\frac{d\sigma}{dT}) $
|
|
|
};
|
|
|
\addplot+ [blue, only marks, mark size = 4pt,
|
|
|
error bars/.cd,
|
|
|
x dir=both, x explicit,
|
|
|
y dir=both, y explicit,
|
|
|
] table [x = T, y = sigma, x error = dT, y error = ds,] {
|
|
|
T sigma dT ds
|
|
|
302 61.89142053 0.1 1.578711731
|
|
|
307 61.04078762 0.1 1.560148221
|
|
|
312 60.09563994 0.1 1.542739875
|
|
|
317 59.24500703 0.1 1.530060624
|
|
|
322 58.58340366 0.1 1.517994324
|
|
|
327 58.01631505 0.1 1.509164465
|
|
|
332 57.16568214 0.1 1.492275431
|
|
|
};
|
|
|
\addplot+ [blue, only marks, mark size = 4pt,
|
|
|
] table [x = T, y = sigma,] {
|
|
|
T sigma
|
|
|
302 46.892827
|
|
|
307 47.66919831
|
|
|
312 48.44556962
|
|
|
317 49.22194093
|
|
|
322 49.99831224
|
|
|
327 50.77468354
|
|
|
332 51.55105485
|
|
|
};
|
|
|
\addplot+ [blue, only marks, mark size = 4pt,
|
|
|
] table [x = T, y = sigma,] {
|
|
|
T sigma
|
|
|
302 108.7842475
|
|
|
307 108.7099859
|
|
|
312 108.5412096
|
|
|
317 108.466948
|
|
|
322 108.5817159
|
|
|
327 108.7909986
|
|
|
332 108.716737
|
|
|
};
|
|
|
\addplot [red, domain=297:350, line width =3.2pt] {108.6 -0.155*x};
|
|
|
\addplot [pink, domain=297:350, line width =3.2pt] {x * 0.155};
|
|
|
\addplot [black, domain=297:350, line width =3.2pt] {108.6};
|
|
|
\end{axis}
|
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
|
\end{center}
|
|
|
|
|
|
По полученным данным можно нанести на график зависимость от температуры коэффициента поверхностного натяжения $ \underline{\sigma(T)} $, теплоты образования единицы поверхности жидкости $ \displaystyle \underline{q = -T\frac{d\sigma}{dT}} $ и поверхностной энергии $ U $ единицы площади $ F $: $ \displaystyle \underline{\frac{U}{F} = \left(\sigma - T \frac{d\sigma}{dT}\right).} $
|
|
|
|
|
|
\section{Обсуждение результатов и выводы}
|
|
|
|
|
|
В ходе работы были выполнены следующие задачи:
|
|
|
|
|
|
\begin{itemize}
|
|
|
\item Был измерен диаметр иглы при помощи известного коэффициента поверхностного натяжения спирта. Полученный результат $\underline{ d = (0,96 \pm 0,02) \text{ мм},} \: (\varepsilon = 2,2\%)$ с хорошей точностью совпадает с диаметром, измеренным при помощи светового микроскопа.
|
|
|
|
|
|
\item Было определено добавочное давление $ \underline{\Delta P = (117,4 \pm 2,8) \text{ Па},} \: (\varepsilon = 2,4\%)$, создаваемое столбом жидкости при опускании иглы на $ \underline{\Delta h' = (12,0 \pm 0,7) \text{ мм},} \: (\varepsilon = 5,9\%). $ Полученное экспериментально значение $ \Delta h $ в пределах погрешности совпало с прямым измерением $ \Delta h' $. Полученная поправка к давлению была использована в дальнейшем в основной части работы.
|
|
|
|
|
|
\item Был экспериментально получен коэффициент поверхностного натяжения воды при различных её температурах. Так, например, при температуре $ 29 ^\circ C $ коэффициент $ \sigma \approx (61,9 \pm 1,6) $ мН/м. А при $ 59 ^\circ C $ -- $ \sigma \approx (57,2 \pm 1,5) $ мН/м.
|
|
|
|
|
|
\item Была экспериментально получена зависимость коэффициента поверхностного натяжения дистиллированной воды от температуры. Был вычислен коэффициент пропорциональности $ \displaystyle \underline{k = \frac{d\sigma}{dT} = (-0,155 \pm 0,006) \text{ } \frac{\text{мН}}{\text{м}\cdot\text{К}},} \: (\varepsilon = 4,2\%). $
|
|
|
|
|
|
\item Были построены графики зависимости от температуры теплоты образования единицы поверхности жидкости и поверхностной энергии единицы площади.
|
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
|
|
Полученные результаты дают основание полагать, что теоретические данные довольно точно описывают наблюдаемые зависимости. При этом численные результаты значительно отличаются от табличных данных, что может говорить о низкой точности метода измерений, которая, вероятно, связана с необходимостью учёта сложных не квазистатических процессов, происходящих при пробулькивании пузырька. Также большую погрешность мог внести тот факт, что <<дистиллированная>> вода, используемая в ходе эксперимента имела примеси спирта, которые попали туда в результате некачественной очистки иглы от остатков этанола после первой части работы. Более того, в колбе с водой были обнаружены волокна тряпки, которая использовалась для протирки иглы от спирта, что тоже могло повлиять на точность полученных результатов.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\end{document}
|