|
|
\documentclass[a4paper,12pt]{article} % добавить leqno в [] для нумерации слева
|
|
|
\usepackage[a4paper,top=1.3cm,bottom=2cm,left=1.5cm,right=1.5cm,marginparwidth=0.75cm]{geometry}
|
|
|
%%% Работа с русским языком
|
|
|
\usepackage{cmap} % поиск в PDF
|
|
|
\usepackage[warn]{mathtext} % русские буквы в фомулах
|
|
|
\usepackage[T2A]{fontenc} % кодировка
|
|
|
\usepackage[utf8]{inputenc} % кодировка исходного текста
|
|
|
\usepackage[english,russian]{babel} % локализация и переносы
|
|
|
%\usepackage{physics}
|
|
|
\usepackage{multirow}
|
|
|
\usepackage{longtable}
|
|
|
|
|
|
%%% Нормальное размещение таблиц (писать [H] в окружении таблицы)
|
|
|
\usepackage{float}
|
|
|
\restylefloat{table}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\usepackage{graphicx}
|
|
|
|
|
|
\usepackage{wrapfig}
|
|
|
\usepackage{tabularx}
|
|
|
|
|
|
\usepackage{hyperref}
|
|
|
\usepackage[rgb]{xcolor}
|
|
|
\hypersetup{
|
|
|
colorlinks=true,urlcolor=blue
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
\usepackage{pgfplots}
|
|
|
\pgfplotsset{compat=1.9}
|
|
|
|
|
|
%%% Дополнительная работа с математикой
|
|
|
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,amsthm,mathtools} % AMS
|
|
|
\usepackage{icomma} % "Умная" запятая: $0,2$ --- число, $0, 2$ --- перечисление
|
|
|
|
|
|
%% Номера формул
|
|
|
\mathtoolsset{showonlyrefs=true} % Показывать номера только у тех формул, на которые есть \eqref{} в тексте.
|
|
|
|
|
|
%% Шрифты
|
|
|
\usepackage{euscript} % Шрифт Евклид
|
|
|
\usepackage{mathrsfs} % Красивый матшрифт
|
|
|
|
|
|
%% Свои команды
|
|
|
\DeclareMathOperator{\sgn}{\mathop{sgn}}
|
|
|
|
|
|
%% Перенос знаков в формулах (по Львовскому)
|
|
|
\newcommand*{\hm}[1]{#1\nobreak\discretionary{}
|
|
|
{\hbox{$\mathsurround=0pt #1$}}{}}
|
|
|
|
|
|
\date{\today}
|
|
|
|
|
|
\usepackage{gensymb}
|
|
|
|
|
|
\begin{document}
|
|
|
|
|
|
\begin{titlepage}
|
|
|
|
|
|
\vspace{4.5cm}
|
|
|
{\huge
|
|
|
\begin{center}
|
|
|
{\bf Отчёт о выполнении лабораторной работы 2.1.3}\\
|
|
|
Определение $ C_p/C_v $ по скорости звука в газе
|
|
|
\end{center}
|
|
|
}
|
|
|
\vspace{2cm}
|
|
|
\begin{flushright}
|
|
|
{\LARGE Автор:\\ Гришаев Григорий Павлович \\
|
|
|
\vspace{0.2cm}
|
|
|
С01-119}
|
|
|
\end{flushright}
|
|
|
\end{titlepage}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\section{Введение}
|
|
|
\textbf{Цель работы:} \begin{enumerate}
|
|
|
\item измерение частоты колебаний и длины волны при резонансе звуковых колебаний в газе, заполняющем трубу;
|
|
|
\item определение показателя адиабаты с помощью уравнения состояния идеального газа.
|
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
|
|
\textbf{В работе используются:} звуковой генератор ГЗ; электронный осциллограф ЭО; микрофон; телефон; раздвижная труба; теплоизолированная труба, обогреваемая водой из термостата; баллон со сжатым углекислым газом; газгольдер.
|
|
|
|
|
|
\section{Теоретические сведения}
|
|
|
|
|
|
Скорость распространения звуковой волны в газах зависит от показателя адиабаты $ \gamma $. На измерении скорости звука основан один из наиболее точных методов определения показателя адиабаты.
|
|
|
|
|
|
Скорость звука в газах определяется формулой:
|
|
|
|
|
|
\begin{equation}\label{velocity}
|
|
|
c=\sqrt{\gamma\frac{RT}{\mu}}.
|
|
|
\end{equation}
|
|
|
где $ R $ -- газовая постоянная, $ T $ -- температура газа, а $ \mu $ -- его молярная масса. Преобразуя эту формулу, найдем
|
|
|
\begin{equation}\label{gamma}
|
|
|
\boxed{\gamma = \frac{\mu}{RT}c^2}.
|
|
|
\end{equation}
|
|
|
|
|
|
Таким образом, для определения показателя адиабаты достаточно измерить температуру газа и скорость распространения звука (молярная масса газа предполагается известной).
|
|
|
|
|
|
Звуковая волна, распространяющаяся вдоль трубы, испытывает многократные отражения от торцов. Звуковые колебания в трубе являются наложением всех отраженных волн и очень сложны. Картина упрощается, если длина трубы $ L $ равна целому числу полуволн, то есть когда \[ L=n\lambda/2, \] где $ \lambda $ -- длина волны звука в трубе, а $ n $ -- любое целое число. Если это условие выполнено, то волна, отраженная от торца трубы, вернувшаяся к ее началу и вновь отраженная, совпадает по фазе с падающей. Совпадающие по фазе волны усиливают друг друга. Амплитуда звуковых колебаний при этом резко возрастает -- наступает резонанс.
|
|
|
|
|
|
При звуковых колебаниях слои газа, прилегающие к торцам трубы, не испытывают смещения. Узлы смещения повторяются по всей длине трубы через $ \lambda/2 $. Между узлами находятся максимумы смещения.
|
|
|
|
|
|
Скорость звука c связана с его частотой $ f $ и длиной волны $ \lambda $ соотношением
|
|
|
|
|
|
\begin{equation}\label{lambda_f}
|
|
|
c=\lambda f.
|
|
|
\end{equation}
|
|
|
|
|
|
Подбор условий, при которых возникает резонанс, можно производить двояко:
|
|
|
\begin{enumerate}
|
|
|
\item При неизменной частоте $ f $ звукового генератора (а следовательно, и неизменной длине звуковой волны $ \lambda $) можно изменять длину трубы $ L $. Для этого применяется раздвижная труба. Длина раздвижной трубы постепенно увеличивается, и наблюдается ряд последовательных резонансов. Возникновение резонанса легко наблюдать на осциллографе по резкому увеличению амплитуды колебаний. Для последовательных резонансов имеем \begin{equation}\label{first}
|
|
|
L_n=n\frac{\lambda}{2}, \quad L_{n+1}=(n+1)\frac{\lambda}{2}, \quad \dots, \quad L_{n+k} = n\frac{\lambda}{2}+k\frac{\lambda}{2},
|
|
|
\end{equation} т. е. $ \lambda/2 $ равно угловому коэффициенту графика, изображающего зависимость длины трубы $ L $ от номера резонанса $ k $. Скорость звука находится по формуле \eqref{lambda_f}.
|
|
|
\item При постоянной длине трубы можно изменять частоту звуковых колебаний. В этом случае следует плавно изменять частоту $ f $ звукового генератора, а следовательно, и длину звуковой волны $ \lambda $. Для последовательных резонансов получим
|
|
|
\begin{equation}\label{4}
|
|
|
L=\frac{\lambda_1}{2}n=\frac{\lambda_2}{2}(n+1)=\dots=\frac{\lambda_{k+1}}{2}(n+k).
|
|
|
\end{equation}
|
|
|
|
|
|
Из \eqref{lambda_f} и \eqref{4} имеем:
|
|
|
\[ f_1=\frac{c}{\lambda_1}=\frac{c}{2L}n, \quad f_2=\frac{c}{\lambda_2}=\frac{c}{2L}(n+1)=f_1+\frac{c}{2L},\quad \dots, \]
|
|
|
\begin{equation}\label{5}
|
|
|
f_{k+1}=\frac{c}{\lambda_{k+1}}=\frac{c}{2L}(n+k)=f_1+\frac{c}{2L}k.
|
|
|
\end{equation}
|
|
|
Скорость звука, деленная на $ 2L $, определяется, таким образом, по угловому коэффициенту графика зависимости частоты от номера резонанса.
|
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
|
|
\section{Экспериментальная установка}
|
|
|
|
|
|
Соответственно двум методам измерения скорости звука в работе имеются две установки (рис. \ref{img1} и \ref{img2}). В обеих установках звуковые колебания в трубе возбуждаются телефоном Т и улавливаются микрофоном М. Мембрана телефона приводится в движение переменным током звуковой частоты; в качестве источника переменной ЭДС используется звуковой генератор ГЗ. Возникающий в микрофоне сигнал наблюдается на осциллографе ЭО.
|
|
|
|
|
|
Микрофон и телефон присоединены к установке через тонкие резиновые трубки. Такая связь достаточна для возбуждения и обнаружения звуковых колебаний в трубе и в то же время мало возмущает эти колебания: при расчетах оба торца трубы можно считать неподвижными, а влиянием соединительных отверстий пренебречь.
|
|
|
|
|
|
Первая установка (рис. \ref{img1}) содержит раздвижную трубу с миллиметровой шкалой. Через патрубок (на рисунке не показан) труба может наполняться воздухом или углекислым газом из газгольдера. На этой установке производятся измерения $ \gamma $ для воздуха и для $ CO_2 $. Вторая установка (рис. \ref{img2}) содержит теплоизолированную трубу постоянной длины. Воздух в трубе нагревается водой из термостата. Температура газа принимается равной температуре омывающей трубу воды. На этой установке измеряется зависимость скорости звука от температуры.
|
|
|
|
|
|
\begin{figure}[H]
|
|
|
\begin{center}
|
|
|
\includegraphics[width=12cm]{ust1.jpg}
|
|
|
\end{center}
|
|
|
\caption{\textit{Установка для измерения скорости звука при помощи раздвижной трубы}}
|
|
|
\label{img1}
|
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
|
|
\begin{figure}[H]
|
|
|
\begin{center}
|
|
|
\includegraphics[width=12cm]{ust2.jpg}
|
|
|
\end{center}
|
|
|
\caption{\textit{Установка для изучения зависимости скорости звука от температуры}}
|
|
|
\label{img2}
|
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
|
|
\section{Ход работы}
|
|
|
|
|
|
\subsection{Измерение $ C_p/C_v $ для воздуха при различных температурах}
|
|
|
|
|
|
Проведём измерения $ C_p/C_v $ для воздуха при различных температурах. Для этого будем использовать трубу постоянного размера $ L = (740 \pm 1) $ мм. Для фиксированной температуры будем изменять частоту звукового сигнала, тем самым изменяя и длину волны, так, чтобы мы могли наблюдать последовательные резонансы. Для каждого резонанса будем фиксировать частоту, при которой он возник. Полученные измерения занесём в таблицу \ref{tab:constL}.
|
|
|
|
|
|
\begin{table}[H]
|
|
|
\centering
|
|
|
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
|
|
|
\hline
|
|
|
$ T $, К & \multicolumn{2}{c|}{\textbf{303}} & \multicolumn{2}{c|}{\textbf{310}} & \multicolumn{2}{c|}{\textbf{317}} & \multicolumn{2}{c|}{\textbf{323}} & \multicolumn{2}{c|}{\textbf{328}} \\ \hline
|
|
|
k & $ \hat{f_k} $, Гц & $ f_k $, Гц & $ \hat{f_k} $, Гц & $ f_k $, Гц & $ \hat{f_k} $, Гц & $ f_k $, Гц & $ \hat{f_k} $, Гц & $ f_k $, Гц & $ \hat{f_k} $, Гц & $ f_k $, Гц \\ \hline
|
|
|
0 & 712 & 0 & 255 & 0 & 253 & 0 & 258 & 0 & 260 & 0 \\ \hline
|
|
|
1 & 941 & 229 & 489 & 234 & 493 & 240 & 488 & 230 & 496 & 236 \\ \hline
|
|
|
2 & 1171 & 459 & 718 & 463 & 725 & 472 & 732 & 474 & 731 & 471 \\ \hline
|
|
|
3 & 1410 & 698 & 944 & 689 & 963 & 710 & 971 & 713 & 977 & 717 \\ \hline
|
|
|
4 & 1640 & 928 & 1185 & 930 & 1201 & 948 & 1203 & 945 & 1216 & 956 \\ \hline
|
|
|
5 & 1875 & 1163 & 1423 & 1168 & 1436 & 1183 & 1450 & 1192 & 1463 & 1203 \\ \hline
|
|
|
6 & 2106 & 1394 & 1657 & 1402 & 1677 & 1424 & 1697 & 1439 & 1697 & 1437 \\ \hline
|
|
|
7 & 2337 & 1625 & 1897 & 1642 & 1917 & 1664 & 1937 & 1679 & 1950 & 1690 \\ \hline
|
|
|
\end{tabular}
|
|
|
\caption{Результаты измерений при разных температурах для воздуха}
|
|
|
\label{tab:constL}
|
|
|
\end{table}
|
|
|
|
|
|
Также занесём в таблицу величину $ f_k = \hat{f_k} - \hat{f_0} $. Погрешность измерения такой величины составит $ \sigma_{f_k} = \sigma_{\hat{f_k}}\sqrt{2} \approx 2,82 $ Гц.
|
|
|
|
|
|
По полученным экспериментальным данным построим графики зависимости $ f_k(k) $.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
|
\begin{axis}[
|
|
|
title={График зависимости $f_k(k)$ для воздуха},
|
|
|
xlabel={Номера резонанса $ k $},
|
|
|
ylabel={Резонансная частота $ f $, Гц},
|
|
|
legend pos=north west,
|
|
|
xmajorgrids=true,
|
|
|
ymajorgrids=true,
|
|
|
grid style=dashed,
|
|
|
/pgf/number format/.cd,%
|
|
|
set thousands separator={},
|
|
|
set decimal separator={,},
|
|
|
xmin = 0,
|
|
|
%xmax = 4.3,
|
|
|
ymin = 0,
|
|
|
%ymax = 5500,
|
|
|
width = 510,
|
|
|
height = 670,
|
|
|
]
|
|
|
\legend{
|
|
|
$ T = 303 $ К,,
|
|
|
$ T = 310 $ К,,
|
|
|
$ T = 317 $ К,,
|
|
|
$ T = 323 $ К,,
|
|
|
$ T = 328 $ К,,
|
|
|
};
|
|
|
|
|
|
\addplot+ [black, only marks, mark size = 3pt,
|
|
|
mark=*,
|
|
|
mark options = {
|
|
|
fill = red,
|
|
|
draw = black},
|
|
|
error bars/.cd,
|
|
|
y dir=both, y explicit,
|
|
|
] table [x = k, y = L, y error = dL,] {
|
|
|
k L dL
|
|
|
0 0 3
|
|
|
1 229 3
|
|
|
2 459 3
|
|
|
3 698 3
|
|
|
4 928 3
|
|
|
5 1163 3
|
|
|
6 1394 3
|
|
|
7 1625 3
|
|
|
};
|
|
|
\addplot [red, domain=0:7.1, line width = 2.2pt] { 232.192857085818 * x};
|
|
|
|
|
|
\addplot+ [black, only marks, mark size = 3pt,
|
|
|
mark options = {
|
|
|
fill = blue,
|
|
|
draw = black},
|
|
|
error bars/.cd,
|
|
|
y dir=both, y explicit,
|
|
|
] table [x = k, y = L, y error = dL,] {
|
|
|
k L dL
|
|
|
0 0 3
|
|
|
1 234 3
|
|
|
2 463 3
|
|
|
3 689 3
|
|
|
4 930 3
|
|
|
5 1168 3
|
|
|
6 1402 3
|
|
|
7 1642 3
|
|
|
};
|
|
|
\addplot [blue, domain=0:7.1, line width = 2.2pt] { 233.521428412963 * x};
|
|
|
|
|
|
\addplot+ [black, only marks, mark size = 3pt,
|
|
|
mark options = {
|
|
|
fill = green,
|
|
|
draw = black},
|
|
|
error bars/.cd,
|
|
|
y dir=both, y explicit,
|
|
|
] table [x = k, y = L, y error = dL,] {
|
|
|
k L dL
|
|
|
0 0 3
|
|
|
1 240 3
|
|
|
2 472 3
|
|
|
3 710 3
|
|
|
4 948 3
|
|
|
5 1183 3
|
|
|
6 1424 3
|
|
|
7 1664 3
|
|
|
};
|
|
|
\addplot [green, domain=0:7.1, line width = 2.2pt] { 237.235714303741 * x};
|
|
|
|
|
|
\addplot+ [black, only marks, mark size = 3pt,
|
|
|
mark options = {
|
|
|
fill = orange,
|
|
|
draw = black},
|
|
|
error bars/.cd,
|
|
|
y dir=both, y explicit,
|
|
|
] table [x = k, y = L, y error = dL,] {
|
|
|
k L dL
|
|
|
0 0 3
|
|
|
1 230 3
|
|
|
2 474 3
|
|
|
3 713 3
|
|
|
4 945 3
|
|
|
5 1192 3
|
|
|
6 1439 3
|
|
|
7 1679 3
|
|
|
};
|
|
|
\addplot [orange, domain=0:7.1, line width = 2.2pt] { 238.885714210443 * x};
|
|
|
|
|
|
\addplot+ [black, mark=halfcircle*, only marks, mark size = 3pt,
|
|
|
mark options = {
|
|
|
fill = violet,
|
|
|
draw = black},
|
|
|
error bars/.cd,
|
|
|
y dir=both, y explicit,
|
|
|
] table [x = k, y = L, y error = dL,] {
|
|
|
k L dL
|
|
|
0 0 3
|
|
|
1 236 3
|
|
|
2 471 3
|
|
|
3 717 3
|
|
|
4 956 3
|
|
|
5 1203 3
|
|
|
6 1437 3
|
|
|
7 1690 3
|
|
|
};
|
|
|
\addplot [violet, domain=0:7.1, line width = 2.2pt] { 240.142856845106 * x};
|
|
|
|
|
|
\end{axis}
|
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
|
\end{center}
|
|
|
|
|
|
Аппроксимируем полученные зависимости прямыми $ y=ax $ используя метод наименьших квадратов. Коэффициент $ a $ и погрешности его определения находим согласно формулам \eqref{mnk:a}, \eqref{mnk:sigma_a} и \eqref{mnk:full_sigma}. Результаты вычислений для каждой температуры заносим в таблицу \ref{tab:resConstL}.
|
|
|
|
|
|
\begin{table}[H]
|
|
|
\centering
|
|
|
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
|
|
|
\hline
|
|
|
$ T $, К & $ a $, с$ ^{-1} $ & $ \sigma_a $, с$ ^{-1} $ & $ c $, м/с & $ \sigma_c $, м/с & $ \gamma $ & $ \sigma_\gamma $ \\ \hline
|
|
|
303 & 232,2 & 0,3 & 343,6 & 0,6 & 1,358 & 0,005 \\ \hline
|
|
|
310 & 233,5 & 0,3 & 345,6 & 0,6 & 1,343 & 0,005 \\ \hline
|
|
|
317 & 237,2 & 0,3 & 351,1 & 0,6 & 1,355 & 0,005 \\ \hline
|
|
|
323 & 238,9 & 0,3 & 353,6 & 0,6 & 1,349 & 0,005 \\ \hline
|
|
|
328 & 240,1 & 0,3 & 355,4 & 0,6 & 1,342 & 0,005 \\ \hline
|
|
|
\end{tabular}
|
|
|
\caption{Результаты вычислений при различных температурах}
|
|
|
\label{tab:resConstL}
|
|
|
\end{table}
|
|
|
|
|
|
Также, согласно формуле \eqref{5}, коэффициент наклона $ \displaystyle a = \frac{c}{2L}$. Тогда вычислим скорость звука $ c $ при фиксированной температуре и её погрешность, результаты вычислений занесём в таблицу \ref{tab:resConstL}.
|
|
|
|
|
|
Кроме того, по формуле \eqref{gamma} вычислим $ \gamma $ при фиксированной температуре и погрешность этого вычисления. Результаты занесём в таблицу $ \ref{tab:resConstL} $.
|
|
|
|
|
|
Согласно полученным данным, можно утверждать, что $ \gamma $ остаётся постоянной в исследуемом диапазоне температур. Поэтому усредним результаты, полученные при различных значениях температуры и получим для воздуха:
|
|
|
|
|
|
\[ \boxed{\gamma = 1,350 \pm 0,004}\quad (\varepsilon=0,3\%) \]
|
|
|
|
|
|
\section{Обсуждение результатов и выводы}
|
|
|
|
|
|
В ходе выполнения работы мы измерили частоту колебаний и длину волны при резонансе звуковых колебаний в газе, заполняющем экспериментальную установку.
|
|
|
|
|
|
Измерения проводились на установке, на которой длина трубы оставалась постоянной на протяжении всего опыта, а резонанса мы добивались при помощи изменения частоты звукового сигнала. В ходе этих измерений также исследовалась зависимость коэффициента адиабаты $ \gamma $ от температуры газа. Было получено, что показатель адиабаты не зависит от температуры в диапазоне температур $ 20-60 $ $ ^\circ C $ и равняется:
|
|
|
|
|
|
\[ \boxed{\gamma_L = 1,350 \pm 0,004}\quad (\varepsilon=0,5\%) \]
|
|
|
|
|
|
Сравним полученные данные с табличными. Согласно справочнику, показатель адиабаты для воздуха при нормальных условиях равен \underline{$ \gamma = 1,4 $}. Таким образом, можно утверждать, что результаты измерения незначительно отличаются от табличных. Это может быть связано с большой неточностью определения резонансных частот. Чтобы этого избежать, необходимо использовать генератор частоты с возможностью более точной настройки для возможности чёткого отслеживания резонансов.
|
|
|
|
|
|
\end{document}
|