\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage[left=2cm,right=2cm,top=2cm,bottom=3cm,bindingoffset=0cm]{geometry}
\usepackage{cmap}
\usepackage{mathtext}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{indentfirst}
\usepackage[pdftex]{graphicx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{wrapfig}

\usepackage{graphicx,xcolor}
\usepackage[cleanup]{gnuplottex}
\usepackage{subcaption}

\begin{document}
\begin{titlepage}
    \centering
    \vspace{5cm}
    {\scshape\LARGE Московский физико-технический институт \par}
    \vspace{4cm}
    {\scshape\Large Лабораторная работа 5.1.3 \par}
    \vspace{1cm}
        {\huge\bfseries Изучение рассеяния медленных электронов на атомах (эффект Рамзауэра) \par}
    \vspace{12cm}
    {\LARGE Гришаев Григорий С01-119}
\end{titlepage}

\newpage

\section{Аннотация}
В данной работе исследуется энергетическая зависимость вероятности рассеяния электронов атомами ксенона, определяются энергии электронов, при которых наблюдается <<просветление>> ксенона, и оценивается размер его внешней электронной оболочки.

\section{Теоретические сведения}
\begin{wrapfigure}{}{0.3\textwidth}
	\includegraphics[width=1.0\linewidth]{Screenshot_1}
	\caption{Качественная картина результатов измерения упругого рассеяния электронов в аргоне}
	\label{fig:screenshot1}
\end{wrapfigure}
Эффективное сечение реакции -- это величина, характеризующая вероятность перехода системы двух сталкивающихся частиц в результате их рассеяния (упругого или неупругого) в определенное конечное состояние. Сечение $ \sigma $ равно отношению числа $ N $ таких переходов в единицу времени к плотности потока рассеиваемых частиц $ n v $, падающих на мишень, т. е. к числу частиц, проходящих в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную к их скорости $ v $ ($ n $ -- плотность числа падающих частиц).
\begin{equation}\label{eq:sigma}
	\sigma = \frac{N}{n v}.
\end{equation}
Таким образом, сечение имеет размерность площади.


\begin{figure}[h!]
	\centering
	\includegraphics[width=0.5\linewidth]{Screenshot_2}
	\caption{Схема установки для измерения сечения рассеяния электронов в газах}
	\label{fig:screenshot2}
\end{figure}
Качественно результат экспериментов Рамзауэра при энергии электронов порядка десятков эВ показан на рис. \ref{fig:screenshot1}.
По мере уменьшения энергии электрона от нескольких десятков электрон-вольт поперечное сечение его упругого рассеяния растет. Однако при энергиях меньше 16 эВ в случае аргона сечение начинает уменьшаться, а при $ E \sim 1 $ эВ практически равно нулю, т. е. аргон становится прозрачным для электронов. При дальнейшем уменьшении энергии электронов сечение рассеяния опять начинает возрастать. Это поведение поперечного сечения свойственно не только атомам аргона, но и атомам всех инертных газов. Такое поведение электронов нельзя объяснить с позиций классической физики. Объяснение этого эффекта потребовало учета волновой природы электронов. Схема эксперимента Рамзауэра показана, на рис. \ref{fig:screenshot2}.


С точки зрения квантовой теории, внутри атома потенциальная энергия налетающего электрона $ U $ отлична от нуля, скорость электрона изменяется, становясь равной $ v' $ в соответствии с законом сохранения энергии
\begin{equation*}
	E = \frac{m v^2}{2} = \frac{m v'^2}{2}+ U,
\end{equation*}
а значит, изменяется и длина его волны де Бройля. Таким образом, по отношению к электронной волне атом ведет себя как преломляющая среда с относительным показателем преломления
\begin{equation*}
	n = \frac{\lambda}{\lambda'} = \sqrt{1-\frac{U}{E}}.
\end{equation*}

Коэффициент прохождения электронов максимален при условии
\begin{equation}\label{eq:at}
	\sqrt{\frac{2 m (E+U_0)}{\hbar^2}}l = \pi n;\; n \in \mathbb{N}_1,
\end{equation}
где $ U_0 $ -- глубина потенциальной ямы.

Это условие легко получить, рассматривая интерференцию электронных волн де Бройля в атоме. Движущемуся электрону соответствует волна де Бройля, длина которой определяется соотношением $ \lambda = h/m v $. Если кинетическая энергия электрона невелика, то $ E = m v^2/2 $ и $ \lambda = h/\sqrt{2 m E} $. При движении электрона через атом длина волны де Бройля становится меньше и равна $ \lambda' = h/\sqrt{2 m (E+U_0)} $ где $ U_0 $ — глубина атомного потенциала. При этом, волна де Бройля отражается от границ атомного потенциала, т. е. от поверхности атома, и происходит интерференция прошедшей через атом волны 1 и волны 2, отраженной от передней и задней границы атома (эти волны когерентны). Прошедшая волна 1 усилится волной 2, если геометрическая разность хода между ними $ \Delta = 2 l = \lambda' $, что соответствует условию первого интерференционного максимума, т. е. при условии
\begin{equation}\label{eq:condition}
	2 l = \frac{h}{\sqrt{2 m (E_1 + U_0)}}
\end{equation}
Прошедшая волна ослабится при условии
\begin{equation}\label{eq:condition2}
	2 l = \frac{3}{2}\frac{h}{\sqrt{2 m (E_1 + U_0)}}
\end{equation}

Из \eqref{eq:condition} и \eqref{eq:condition2}, можно получить
\begin{equation}\label{eq:radius}
	l = \frac{h \sqrt{5}}{\sqrt{32 m (E_2-E_1)}}.
\end{equation}
Оттуда же можно найти эффективную глубину потенциальной ямы атома:
\begin{equation}\label{eq:atomPit}
	U_0 = \frac{4}{5}E_2-\frac{9}{5} E_1.
\end{equation}


Уравнение вольт-амперной характеристики тиратрона:
\begin{equation}\label{eq:VAH}
	I_а = I_0 \exp (-C \omega (V));\; C = L n_а \Delta_а,
\end{equation}
где $ I_0 = e N_0 $ -- ток катода, а $ I_а = e N_а $ -- ток анода.
Отсюда определяется вероятность рассеяния электрона в зависимости от его энергии:
\begin{equation}\label{eq:probable}
	\omega (V) = -\frac{1}{C} \ln \frac{I_а(V)}{I_0}.
\end{equation}

\clearpage

\section{Экспериментальная установка}

Схема экспериментальной установки отображена на рис. \ref{fig:screenshot3}.

\begin{figure}[h!]
	\centering
	\includegraphics[width=1.0\linewidth]{Screenshot_3}
	\caption{Схема экспериментальной установки}
	\label{fig:screenshot3}
\end{figure}

В данной работе для изучения эффекта Рамзауэра используется
тиратрон ТГЗ-01/1.3Б, заполненный инертным газом. Электроны, эмитируемые катодом тиратрона, ускоряются напряжением $ V $, приложенным между катодом и ближайшей к нему сеткой. Затем электроны рассеиваются на атомах инертного газа (ксенона). Все сетки соединены между собой и имеют одинаковый потенциал, примерно равный потенциалу анода. Поэтому между первой сеткой и анодом практически нет поля. Рассеянные электроны отклоняются в сторону и уходят на сетку, а оставшаяся часть электронов достигает анода и создаёт анодный ток $ I_а $. Таким образом, поток электронов $ N(x) $ (т. е. число электронов, проходящих через поперечное сечение лампы в точке $ x $ в единицу времени) уменьшается с ростом $ x $ от начального значения $ X $ y катода (в точке $ x=0 $) до некоторого значения $ N_а $ у анода (в точке
$ x=L $).

\clearpage

\section{Результаты измерений и обработка данных}

\subsection{Динамический метод}
По результатам измерений в динамическом режиме оценим размер электронной оболочки атома инертного газа по формулам \eqref{eq:condition} и \eqref{eq:condition2}. 
Положение первого максимума $$ V_{max}^1 \approx 2.5 \;В.$$
Положение первого минимума $$ V_{min}^1 \approx 6.5 \; В.$$
Тогда 
\begin{equation*}\label{key}
	l = \frac{h}{\sqrt{2 m_e * 5}} \approx 2.8\; \text{\AA{}}
\end{equation*}
\begin{equation*}
	l = \frac{3}{4} \frac{h}{\sqrt{2 m_e * 9}} \approx 3\; \text{\AA{}}
\end{equation*}
В данном случае оценка погрешностей не имеет смысла, так как точка $ V_{max}^1 $ указана неточно, а сам расчёт носит оценочный характер.

Далее найдём радиус из формулы \eqref{eq:radius}:
\begin{equation*}\label{key}
	l = (3.4 \pm 0.2)*10^{-10} \; \text{\AA{}}
\end{equation*}

Эффективная глубина потенциальной ямы равна
\begin{equation*}\label{key}
	U_0 = \frac{4}{5}*6.5 - \frac{9}{5}*2.5 = 1.1 \;эВ.
\end{equation*}

Так как напряжение пробоя примерно равно $ 12  $ В, в колбу закачан ксенон. Установить напряжение пробоя более точно не удалось, так как даже при $ V_{накала} = 3.3 $ В не наблюдалось достаточно резкого возрастания тока анода, то есть было сложно найти конкретную точку $ V_{пробоя}. $

\subsection{Статический метод}

\section{Вывод}


\newpage

% Фото 

\end{document}