\documentclass[a4paper,12pt]{article} % добавить leqno в [] для нумерации слева
\usepackage[a4paper,top=1.3cm,bottom=2cm,left=1.5cm,right=1.5cm,marginparwidth=0.75cm]{geometry}
%%% Работа с русским языком
\usepackage{cmap}					% поиск в PDF
\usepackage[warn]{mathtext} 		% русские буквы в фомулах
\usepackage[T2A]{fontenc}			% кодировка
\usepackage[utf8]{inputenc}			% кодировка исходного текста
\usepackage[english,russian]{babel}	% локализация и переносы
%\usepackage{physics}
\usepackage{multirow}
\usepackage{longtable}

%%% Нормальное размещение таблиц (писать [H] в окружении таблицы)
\usepackage{float}
\restylefloat{table}



\usepackage{graphicx}

\usepackage{wrapfig}
\usepackage{tabularx}

\usepackage{hyperref}
\usepackage[rgb]{xcolor}
\hypersetup{
	colorlinks=true,urlcolor=blue
}

\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{compat=1.9}

%%% Дополнительная работа с математикой
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,amsthm,mathtools} % AMS
\usepackage{icomma} % "Умная" запятая: $0,2$ --- число, $0, 2$ --- перечисление

%% Номера формул
\mathtoolsset{showonlyrefs=true} % Показывать номера только у тех формул, на которые есть \eqref{} в тексте.

%% Шрифты
\usepackage{euscript}	 % Шрифт Евклид
\usepackage{mathrsfs} % Красивый матшрифт

%% Свои команды
\DeclareMathOperator{\sgn}{\mathop{sgn}}

%% Перенос знаков в формулах (по Львовскому)
\newcommand*{\hm}[1]{#1\nobreak\discretionary{}
	{\hbox{$\mathsurround=0pt #1$}}{}}

\date{\today}

\usepackage{gensymb}

\begin{document}

\begin{titlepage}
	
	\vspace{4.5cm}
	{\huge
		\begin{center}
			{\bf Отчёт о выполнении лабораторной работы 2.1.3}\\
			Определение $ C_p/C_v $ по скорости звука в газе
		\end{center}
	}
	\vspace{2cm}
	\begin{flushright}
		{\LARGE Автор:\\ Гришаев Григорий Павлович \\
			\vspace{0.2cm}
			С01-119}
	\end{flushright}
\end{titlepage}


\section{Введение}
\textbf{Цель работы:}  \begin{enumerate}
\item измерение частоты колебаний и длины волны при резонансе звуковых колебаний в газе, заполняющем трубу;
\item определение показателя адиабаты с помощью уравнения состояния идеального газа.
\end{enumerate}

\textbf{В работе используются:} звуковой генератор ГЗ; электронный осциллограф ЭО; микрофон; телефон; раздвижная труба; теплоизолированная труба, обогреваемая водой из термостата; баллон со сжатым углекислым газом; газгольдер.

\section{Теоретические сведения}

Скорость распространения звуковой волны в газах зависит от показателя адиабаты $ \gamma $. На измерении скорости звука основан один из наиболее точных методов определения показателя адиабаты.

Скорость звука в газах определяется формулой:

\begin{equation}\label{velocity}
c=\sqrt{\gamma\frac{RT}{\mu}}.
\end{equation}
где $ R $ -- газовая постоянная, $ T $ -- температура газа, а $ \mu $ -- его молярная масса. Преобразуя эту формулу, найдем
\begin{equation}\label{gamma}
\boxed{\gamma = \frac{\mu}{RT}c^2}.
\end{equation}

Таким образом, для определения показателя адиабаты достаточно измерить температуру газа и скорость распространения звука (молярная масса газа предполагается известной).

Звуковая волна, распространяющаяся вдоль трубы, испытывает многократные отражения от торцов. Звуковые колебания в трубе являются наложением всех отраженных волн и очень сложны. Картина упрощается, если длина трубы $ L $ равна целому числу полуволн, то есть когда \[ L=n\lambda/2, \] где $ \lambda $ -- длина волны звука в трубе, а $ n $ -- любое целое число. Если это условие выполнено, то волна, отраженная от торца трубы, вернувшаяся к ее началу и вновь отраженная, совпадает по фазе с падающей. Совпадающие по фазе волны усиливают друг друга. Амплитуда звуковых колебаний при этом резко возрастает -- наступает резонанс.

При звуковых колебаниях слои газа, прилегающие к торцам трубы, не испытывают смещения. Узлы смещения повторяются по всей длине трубы через $ \lambda/2 $. Между узлами находятся максимумы смещения.

Скорость звука c связана с его частотой $ f $ и длиной волны $ \lambda $ соотношением

\begin{equation}\label{lambda_f}
c=\lambda f.
\end{equation}

Подбор условий, при которых возникает резонанс, можно производить двояко:
\begin{enumerate}
	\item При неизменной частоте $ f $ звукового генератора (а следовательно, и неизменной длине звуковой волны $ \lambda $) можно изменять длину трубы $ L $. Для этого применяется раздвижная труба. Длина раздвижной трубы постепенно увеличивается, и наблюдается ряд последовательных резонансов. Возникновение резонанса легко наблюдать на осциллографе по резкому увеличению амплитуды колебаний. Для последовательных резонансов имеем \begin{equation}\label{first}
	L_n=n\frac{\lambda}{2}, \quad L_{n+1}=(n+1)\frac{\lambda}{2}, \quad \dots, \quad L_{n+k} = n\frac{\lambda}{2}+k\frac{\lambda}{2},
	\end{equation} т. е. $ \lambda/2 $ равно угловому коэффициенту графика, изображающего зависимость длины трубы $ L $ от номера резонанса $ k $. Скорость звука находится по формуле \eqref{lambda_f}.
	\item При постоянной длине трубы можно изменять частоту звуковых колебаний. В этом случае следует плавно изменять частоту $ f $ звукового генератора, а следовательно, и длину звуковой волны $ \lambda $. Для последовательных резонансов получим 
	\begin{equation}\label{4}
	L=\frac{\lambda_1}{2}n=\frac{\lambda_2}{2}(n+1)=\dots=\frac{\lambda_{k+1}}{2}(n+k).
	\end{equation}
	
	Из \eqref{lambda_f} и \eqref{4} имеем:
	\[ f_1=\frac{c}{\lambda_1}=\frac{c}{2L}n, \quad f_2=\frac{c}{\lambda_2}=\frac{c}{2L}(n+1)=f_1+\frac{c}{2L},\quad \dots, \]
	\begin{equation}\label{5}
	f_{k+1}=\frac{c}{\lambda_{k+1}}=\frac{c}{2L}(n+k)=f_1+\frac{c}{2L}k.
	\end{equation}
	Скорость звука, деленная на $ 2L $, определяется, таким образом, по угловому коэффициенту графика зависимости частоты от номера резонанса.
\end{enumerate}

\section{Экспериментальная установка}

Соответственно двум методам измерения скорости звука в работе имеются две установки (рис. \ref{img1} и \ref{img2}). В обеих установках звуковые колебания в трубе возбуждаются телефоном Т и улавливаются микрофоном М. Мембрана телефона приводится в движение переменным током звуковой частоты; в качестве источника переменной ЭДС используется звуковой генератор ГЗ. Возникающий в микрофоне сигнал наблюдается на осциллографе ЭО.

Микрофон и телефон присоединены к установке через тонкие резиновые трубки. Такая связь достаточна для возбуждения и обнаружения звуковых колебаний в трубе и в то же время мало возмущает эти колебания: при расчетах оба торца трубы можно считать неподвижными, а влиянием соединительных отверстий пренебречь.

Первая установка (рис. \ref{img1}) содержит раздвижную трубу с миллиметровой шкалой. Через патрубок (на рисунке не показан) труба может наполняться воздухом или углекислым газом из газгольдера. На этой установке производятся измерения $ \gamma $ для воздуха и для $ CO_2 $. Вторая установка (рис. \ref{img2}) содержит теплоизолированную трубу постоянной длины. Воздух в трубе нагревается водой из термостата. Температура газа принимается равной температуре омывающей трубу воды. На этой установке измеряется зависимость скорости звука от температуры.

\begin{figure}[H]
	\begin{center}
		\includegraphics[width=12cm]{ust1.jpg}
	\end{center}
	\caption{\textit{Установка для измерения скорости звука при помощи раздвижной трубы}}
	\label{img1}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
	\begin{center}
		\includegraphics[width=12cm]{ust2.jpg}
	\end{center}
	\caption{\textit{Установка для изучения зависимости скорости звука от температуры}}
	\label{img2}
\end{figure}

\section{Ход работы}

\subsection{Измерение $ C_p/C_v $ для воздуха при различных температурах}

Проведём измерения $ C_p/C_v $ для воздуха при различных температурах. Для этого будем использовать трубу постоянного размера $ L = (740 \pm 1) $ мм. Для фиксированной температуры будем изменять частоту звукового сигнала, тем самым изменяя и длину волны, так, чтобы мы могли наблюдать последовательные резонансы. Для каждого резонанса будем фиксировать частоту, при которой он возник. Полученные измерения занесём в таблицу \ref{tab:constL}.

\begin{table}[H]
	\centering
	\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
		\hline
		$ T $, К & \multicolumn{2}{c|}{\textbf{303}} & \multicolumn{2}{c|}{\textbf{310}} & \multicolumn{2}{c|}{\textbf{317}} & \multicolumn{2}{c|}{\textbf{323}} & \multicolumn{2}{c|}{\textbf{328}} \\ \hline
		k & $ \hat{f_k} $, Гц & $ f_k $, Гц & $ \hat{f_k} $, Гц & $ f_k $, Гц & $ \hat{f_k} $, Гц & $ f_k $, Гц & $ \hat{f_k} $, Гц & $ f_k $, Гц & $ \hat{f_k} $, Гц & $ f_k $, Гц \\ \hline
		0 & 712 & 0 & 255 & 0 & 253 & 0 & 258 & 0 & 260 & 0 \\ \hline
		1 & 941 & 229 & 489 & 234 & 493 & 240 & 488 & 230 & 496 & 236 \\ \hline
		2 & 1171 & 459 & 718 & 463 & 725 & 472 & 732 & 474 & 731 & 471 \\ \hline
		3 & 1410 & 698 & 944 & 689 & 963 & 710 & 971 & 713 & 977 & 717 \\ \hline
		4 & 1640 & 928 & 1185 & 930 & 1201 & 948 & 1203 & 945 & 1216 & 956 \\ \hline
		5 & 1875 & 1163 & 1423 & 1168 & 1436 & 1183 & 1450 & 1192 & 1463 & 1203 \\ \hline
		6 & 2106 & 1394 & 1657 & 1402 & 1677 & 1424 & 1697 & 1439 & 1697 & 1437 \\ \hline
		7 & 2337 & 1625 & 1897 & 1642 & 1917 & 1664 & 1937 & 1679 & 1950 & 1690 \\ \hline
	\end{tabular}
	\caption{Результаты измерений при разных температурах для воздуха}
	\label{tab:constL}
\end{table}

Также занесём в таблицу величину $ f_k = \hat{f_k} - \hat{f_0} $. Погрешность измерения такой величины составит $ \sigma_{f_k} = \sigma_{\hat{f_k}}\sqrt{2} \approx 2,82 $ Гц.

По полученным экспериментальным данным построим графики зависимости $ f_k(k) $.


\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\begin{axis}[
	title={График зависимости $f_k(k)$ для воздуха},
	xlabel={Номера резонанса $ k $},
	ylabel={Резонансная частота $ f $, Гц},
	legend pos=north west,
	xmajorgrids=true,
	ymajorgrids=true,
	grid style=dashed,
	/pgf/number format/.cd,%
	set thousands separator={},
	set decimal separator={,},
	xmin = 0,
	%xmax = 4.3,
	ymin = 0,
	%ymax = 5500,
	width = 510,
	height = 670,
	]
	\legend{ 
		$ T = 303 $ К,,
		$ T = 310 $ К,,
		$ T = 317 $ К,,
		$ T = 323 $ К,,
		$ T = 328 $ К,,
	};
	
	\addplot+ [black, only marks, mark size = 3pt,
	mark=*, 
	mark options = {
		fill = red, 
		draw = black},
	error bars/.cd,
	y dir=both, y explicit,
	] table [x = k, y = L, y error = dL,] {
		k	L	dL
		0	0	3
		1	229	3
		2	459	3
		3	698	3
		4	928	3
		5	1163	3
		6	1394	3
		7	1625	3
	};
	\addplot [red, domain=0:7.1, line width = 2.2pt] { 232.192857085818 * x};
	
	\addplot+ [black, only marks, mark size = 3pt, 
	mark options = {
		fill = blue, 
		draw = black},
	error bars/.cd,
	y dir=both, y explicit,
	] table [x = k, y = L, y error = dL,] {
		k	L	dL
		0	0	3
		1	234	3
		2	463	3
		3	689	3
		4	930	3
		5	1168	3
		6	1402	3
		7	1642	3
	};
	\addplot [blue, domain=0:7.1, line width = 2.2pt] { 233.521428412963 * x};
	
	\addplot+ [black, only marks, mark size = 3pt, 
	mark options = {
		fill = green, 
		draw = black},
	error bars/.cd,
	y dir=both, y explicit,
	] table [x = k, y = L, y error = dL,] {
		k	L	dL
		0	0	3
		1	240	3
		2	472	3
		3	710	3
		4	948	3
		5	1183	3
		6	1424	3
		7	1664	3
	};
	\addplot [green, domain=0:7.1, line width = 2.2pt] { 237.235714303741 * x};
	
	\addplot+ [black, only marks, mark size = 3pt, 
	mark options = {
		fill = orange, 
		draw = black},
	error bars/.cd,
	y dir=both, y explicit,
	] table [x = k, y = L, y error = dL,] {
		k	L	dL
		0	0	3
		1	230	3
		2	474	3
		3	713	3
		4	945	3
		5	1192	3
		6	1439	3
		7	1679	3
	};
	\addplot [orange, domain=0:7.1, line width = 2.2pt] { 238.885714210443 * x};
	
	\addplot+ [black, mark=halfcircle*, only marks, mark size = 3pt, 
	mark options = {
		fill = violet, 
		draw = black},
	error bars/.cd,
	y dir=both, y explicit,
	] table [x = k, y = L, y error = dL,] {
		k	L	dL
		0	0	3
		1	236	3
		2	471	3
		3	717	3
		4	956	3
		5	1203	3
		6	1437	3
		7	1690	3
	};
	\addplot [violet, domain=0:7.1, line width = 2.2pt] { 240.142856845106 * x};
	
	\end{axis}
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Аппроксимируем полученные зависимости прямыми $ y=ax $ используя метод наименьших квадратов. Коэффициент $ a $ и погрешности его определения находим согласно формулам \eqref{mnk:a}, \eqref{mnk:sigma_a} и \eqref{mnk:full_sigma}. Результаты вычислений для каждой температуры заносим в таблицу \ref{tab:resConstL}.

\begin{table}[H]
	\centering
	\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
		\hline
		$ T $, К & $ a $, с$ ^{-1} $ & $ \sigma_a $, с$ ^{-1} $ & $ c $, м/с & $ \sigma_c $, м/с & $ \gamma $ & $ \sigma_\gamma $ \\ \hline
		303 & 232,2 & 0,3 & 343,6 & 0,6 & 1,358 & 0,005 \\ \hline
		310 & 233,5 & 0,3 & 345,6 & 0,6 & 1,343 & 0,005 \\ \hline
		317 & 237,2 & 0,3 & 351,1 & 0,6 & 1,355 & 0,005 \\ \hline
		323 & 238,9 & 0,3 & 353,6 & 0,6 & 1,349 & 0,005 \\ \hline
		328 & 240,1 & 0,3 & 355,4 & 0,6 & 1,342 & 0,005 \\ \hline
	\end{tabular}
	\caption{Результаты вычислений при различных температурах}
	\label{tab:resConstL}
\end{table}

Также, согласно формуле \eqref{5}, коэффициент наклона $ \displaystyle a = \frac{c}{2L}$. Тогда вычислим скорость звука $ c $ при фиксированной температуре и её погрешность, результаты вычислений занесём в таблицу \ref{tab:resConstL}.

Кроме того, по формуле \eqref{gamma} вычислим $ \gamma $ при фиксированной температуре и погрешность этого вычисления. Результаты занесём в таблицу $ \ref{tab:resConstL} $. 

Согласно полученным данным, можно утверждать, что $ \gamma $ остаётся постоянной в исследуемом диапазоне температур. Поэтому усредним результаты, полученные при различных значениях температуры и получим для воздуха:

\[ \boxed{\gamma = 1,350 \pm 0,004}\quad (\varepsilon=0,3\%) \]

\section{Обсуждение результатов и выводы}

В ходе выполнения работы мы измерили частоту колебаний и длину волны при резонансе звуковых колебаний в газе, заполняющем экспериментальную установку.

Измерения проводились на установке, на которой длина трубы оставалась постоянной на протяжении всего опыта, а резонанса мы добивались при помощи изменения частоты звукового сигнала. В ходе этих измерений также исследовалась зависимость коэффициента адиабаты $ \gamma $ от температуры газа. Было получено, что показатель адиабаты не зависит от температуры в диапазоне температур $ 20-60 $ $ ^\circ C $ и равняется:

\[ \boxed{\gamma_L = 1,350 \pm 0,004}\quad (\varepsilon=0,5\%) \]

Сравним полученные данные с табличными. Согласно справочнику, показатель адиабаты для воздуха при нормальных условиях равен \underline{$ \gamma = 1,4 $}. Таким образом, можно утверждать, что результаты измерения незначительно отличаются от табличных. Это может быть связано с большой неточностью определения резонансных частот. Чтобы этого избежать, необходимо использовать генератор частоты с возможностью более точной настройки для возможности чёткого отслеживания резонансов.

\end{document}
