\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage{cmap}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[warn]{mathtext}
\usepackage{epsf,amsmath,amsfonts,amssymb,amsbsy}
\usepackage[mathscr]{eucal}
\usepackage[english, russian]{babel}
\usepackage{gnuplottex}

\author{Гришаев Григорий С01-119}
\title{Отчёт о выполнении лабораторной работы 2.1.1}
\usepackage[left=2cm,right=2cm,top=2cm,bottom=2cm]{geometry}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{indentfirst}
\graphicspath{{images/}}
\DeclareGraphicsExtensions{.pdf,.png,.jpg}
\usepackage{pgfplots}
\begin{document}
	\maketitle
	\begin{center}
		{\Large Измерение удельной теплоёмкости воздуха при постоянном давлении}
	\end{center}
	\paragraph*{Цель работы:}измерить повышение температуры воздуха в зависимости от мощности подводимого тепла и расхода при стационарном течении через трубу; исключив тепловые потери, по результатам измерений определить теплоёмкость воздуха при постоянном давлении
	\paragraph*{В работе используются:}теплоизолированная стеклянная трубка; электронагреватель; источник питания постоянного тока; амперметр, вольтметр (цифровые мультиметры); термопара, подключенная к микровольтметру; компрессор; газовый счётчик; секундомер.


	\section{Теоретические сведения}
		Определение теплоёмкости обычно производится в калориметрах. При этом регистрируется количество тепла {Q}, полученное телом, и изменение температуры этого тела $ {\Delta T} $.
		Теплоёмкость тела определяется как их отношение:
		\begin{equation}
		\label{eq1}
			C = \frac{\delta Q}{dT} \;
		\end{equation}
			Необходимо, чтобы количество тепла, затрачиваемое на нагревание исследуемого тела, существенно превосходило тепло, расходуемое на нагревание самого калориметра, а также на потери тепла из установки.		 
		 Для увеличения количества нагреваемого газа при неизменных размерах установки в нашей работе исследуемый газ (воздух) продувается через калориметр, внутри которого установлен нагреватель. При этом измеряются мощность нагревателя, масса воздуха, протекающего в единицу времени (расход), и приращение его температуры.
		 Рассмотрим газ, протекающий стационарно слева направо через трубу постоянного сечения, в которой установлен нагревательный элемент (см. рис. 1). Пусть за некоторое время $ dT $  через калориметр прошла малая порция газа массой $ dm = qdt $, где $ q $ [кг/с] — массовый расход газа в трубе. Если мощность нагрева равна $ N $, мощность тепловых потерь на обмен с окружающей средой $ N_{пот} $, то порция получила тепло $ \delta Q = (N - N_{пот})dt $. С другой стороны, по определению теплоёмкости \ref{eq1}, $ \delta Q = c dm \Delta T$, где $ \Delta T = T_{2} - T_{1}$ - приращение температуры газа, и $ c $ — удельная (на единицу массы) теплоёмкость газа в рассматриваемом процессе. При малых расходах газа и достаточно большом диаметре трубы перепад давления на её концах мал, поэтому можно принять, что $ P_{1} \approx P_{2} = P_{0} $, где $ P_{0} $ — атмосферное давление. Следовательно, в условиях опыта измеряется удельная теплоёмкость при постоянном давлении $ c_{p} $. Таким образом, получаем
		\begin{equation}
		\label{eq2}
			c_{p} = \frac{N - N_{пот}}{q \Delta T};
		\end{equation}
		\begin{figure}[h!]
			\center{\includegraphics[width=0.5\linewidth]{1}}
			\caption{Нагрев газа при течении по трубе}
		\end{figure}	 


	\subsection{Экспериментальная установка:}
	
	Схема установки изображена на рис.2. Воздух, нагнетаемый компрессором, прокачивается через калориметр. Калориметр представляет собой стеклянную цилиндрическую трубку с двойными стенками, запаянными с торцов.
	
		\begin{figure}[h]
			\center{\includegraphics{3}}
			\caption{Схема экспериментальной установки}
		\end{figure}
	
		Нагреватель в виде намотанной на пенопласт нихромовой проволоки расположен внутри калориметра непосредственно в воздушном потоке. Нагрев проволоки производится от регулируемого источника постоянного тока (ИП).
		Напряжение $U$ на нагревателе и ток $I$ через него регистрируются цифровыми мультиметрами. Таким образом, мощность нагрева равна 
	\begin{equation}
		\label{eq3}
		N= UI \; 
	\end{equation}
		Для измерения разности температур $\Delta T$ служит медно-константановая
		термопара. Один спай термопары расположен в струе воздуха, входящего в
		калориметр, и находится при комнатной температуре, а второй — в струе выходящего нагретого воздуха. Константановая проволока термопары расположена внутри калориметра, а медные проводники подключены к цифровому вольтметру. Возникающая в термопаре ЭДС $\varepsilon$ пропорциональна разности температур $\Delta T$ спаев: 
		\begin{equation}
			\label{eq4}
			\varepsilon =\beta \Delta T \;
		\end{equation}
			где $\beta = 40.7 \frac{мкВ}{^\circ C}$ — чувствительность медно-константановой термопары в рабочем диапазоне температур (20–30 $^\circ C$ ). ЭДС регистрируется с помощью микровольтметра.
		
	Объём воздуха, прошедшего через калориметр, измеряется газовым счётчиком ГС. Для регулировки расхода служит кран К. Время $ \Delta t $ прохождения некоторого объема $ \Delta V $ воздуха измеряется секундомером. Объёмный расход равен $ \Delta V/\Delta T $, массовый расход может быть найден как
	\begin{equation}
		\label{eq5}
		q = \rho_{o}\frac{\Delta V}{\Delta t} \;
	\end{equation}
	где $ \rho_{0} $ — плотность воздуха при комнатной температуре, которая в свою очередь может быть получена из уравнения Менделеева–Клапейрона: $ \rho_{0} = \frac{\mu P_{0}}{R T_{0}} $, где $ P_{0} $ — атмосферное давление, $ T_{0} $ — комнатная температура (в Кельвинах), $ \mu $= 29,0 г/моль — средняя молярная масса (сухого) воздуха.
	Учитывая особенности устройства калориметра, следует ожидать, что мощность нагревателя расходуется не только на нагрев массы прокачиваемого воздуха, но и частично теряется за счет нагрева внутренних стенок термостата и рассеяния тепла через торцы термостата. Можно предположить, что при небольшом нагреве ($ \Delta T << T_{0} $) мощность потерь тепла $ N_{пот} $ прямо
пропорциональна разности температур:
\begin{equation}
	\label{eq6}
	N_{пот} = \alpha \Delta T \;
\end{equation}
где $ \alpha $ — некоторая константа. При этом условии основное соотношение \ref{eq2} принимает вид
\begin{equation}
	\label{eq7}
	N = (c_{p}q + \alpha)\Delta T \;
\end{equation}
Следовательно, при фиксированном расходе воздуха ($ q $ = const) подводимая мощность и разность температур связаны прямой пропорциональностью ($ \Delta T{N} $ — линейная функция).
	\subsection{Оборудование и инструментальные погрешности}
	Для измерения $ \varepsilon $ использовался вольтметр универсальный В7-78/1, его абсолютная погрешность равна $ \pm (0.005 \frac{\varepsilon}{100} + 3.5) \; мкВ$.

	Для измерения $ U $ использовался цифровой универсальный вольтметр GDM-8145, абсолютная погрешность которого равна $ \pm (0.0003U \pm 4 \; мВ) $. 
	Его же мы использовали для измерения $ I $, абсолютная погрешность: $ \pm (0.002I+20 \; мкА) $.
	\subsection{Ход работы}
	\begin{enumerate}
		\item Запишем показания комнатной температуры, давления и влажности воздуха.
			\begin{table}[h]
	\begin{center}
	\begin{tabular}{|c|c|c|}
				\hline
				& Значение & $ \sigma $ \\
				\hline
				$ T_{0} $, К & 295.45 & 0.1 \\
				\hline
				$ p $, Па & 99375.15 & 1 \\
				\hline
				$ \phi $ & 64\% & 1\% \\
				\hline

	\end{tabular}
	\end{center}
	\end{table}

Рассчитываем плотность воздуха $ \rho_{0} $:
			$$ \rho_{0} = \frac{2.9 * 10^{-3}*99375.15}{8.31*295.45} \approx 1.17 \; кг/м^{3} $$
			Относительную погрешность вычисления плотности воздуха вычислим по формуле:
			$$ \frac{\sigma_{\rho_{0}}}{\rho_{0}} = \sqrt{(\frac{\sigma_{P_{0}}}{P_{0}})^{2}+(\frac{\sigma_{\phi}}{\phi})^{2}+(\frac{\sigma_{T}}{T})^{2}} $$
			$$ \Rightarrow \sigma_{\rho_{0}} = 0.018 \; \frac{кг}{м^{3}} $$
		\item Рассчитываем теоретическую теплоемкость воздуха при постоянном давлении (в предположении, что воздух - смесь двух идеальных двухатомных газов):
			$$ C_{p} = \frac{7}{2}R \approx 29.09 \; \frac{Дж}{моль*К} $$
			$$ C_{p}^{\mu} = \frac{C_{p}}{\mu} \approx 1 \; \frac{Дж}{г*К} $$

		\item С помощью газового счетчика и секундомера измерим расход воздуха для двух случаев, пользуясь формулой \ref{eq5} ($ q_{1} $ и $ q_{2} $). Результаты измерений представлены в таблице.
			\begin{table}[h]
				\begin{center}
				\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
				\hline
					$ \Delta V $, л & $ \Delta t $, с & $ \frac{\Delta V}{\Delta t} \; , \frac{л}{с} $ & $ q_{1} \; , \frac{г}{с}$  & $ \sigma_{q_{1}кос}, \; \frac{г}{с}*10^{-3} $\\
				\hline
					5 & 24.9 & 0.2 & 0.234  & 0.47 \\
				\hline
					5 & 25.6 & 0.2 & 0.234 & 0.47 \\
				\hline
					5 & 26.0 & 0.19 & 0.222 & 0.45 \\	
				\hline
				\end{tabular}
					\caption{Измерение $ q_{1} $}
				\end{center}
			\end{table}
			\begin{table}[h]
				\begin{center}
				\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
				\hline
					$ \Delta V $, л & $ \Delta t $, с & $ \frac{\Delta V}{\Delta t} \; , \frac{л}{с} $ & $ q_{2} \; , \frac{г}{с}$ & $ \sigma_{q_{2}кос}, \; \frac{г}{с}*10^{-3} $ \\
				\hline
					5 & 32.7 & 0.15 & 0.176 & 0.35 \\
				\hline
					5 & 33.1 & 0.15 & 0.176 & 0.35 \\
				\hline
					5 & 33.2 & 0.15 & 0.176 & 0.35 \\	
				\hline
				\end{tabular}
					\caption{Измерение $ q_{2} $}
				\end{center}
			\end{table}
			Итого, $ q_{1} = \overline{q_{1}} = 0.23 \; г/с $, $ q_{2} = \overline{q_{2}} = 0.176 \; г/с $.

			Вычислим случайную погрешность измерения $ q $:
			$$ \sigma_{q} = \sqrt{\frac{1}{n(n-1)}\sum_{i=1}^{n}(q_{i}-\overline q)^{2}} $$
			Итак, $ \sigma_{q_{1}} = 4*10^{-3} \; \frac{г}{с} $, $ \sigma_{q_{2}} \approx 0\; \frac{г}{с} $
			
			Вычислим величину относительной косвенной погрешности измерения $ q_{1} $ и $ q_{2} $:
			$$ \frac{\sigma_{qкос}}{q} = \sqrt{(\frac{\sigma_{T_{0}}}{T_{0}})^{2} + (\frac{\sigma_{P_{0}}}{P_{0}})^{2} + (\frac{\sigma_{t}}{t})^{2}} $$
			Косвенная погрешность для среднего значения $ q $: $ \sigma_{q_{1}кос} = 0.00046 \; \frac{г}{с} $, $ \sigma_{q_{2}кос} = 0.00035 \; \frac{г}{с}$

			Суммарная погрешность: 
			$$ \sigma_{\overline{q}} = \sqrt{(\sigma_{q})^{2}+(\sigma_{qкос})^2 } $$
			$$ \sigma_{\overline{q_{1}}} = 0.0006 \; \frac{г}{с} $$
			$$ \sigma_{\overline{q_{2}}} = 0.0004 \; \frac{г}{с} $$

		\item Оценим величину тока нагревателя $ I_{0} $, требуемого для нагрева воздуха на $ \delta Q = 1К $. Оценим минимальную мощность $ N_{0} $, необходимую для нагрева газа при максимальном расходе $ N_{0} = c_{p}q\Delta T \approx 0.23 \; Вт $ в первом случае, $ N_{0} = c_{p}q\Delta T \approx 0.176 \; Вт $ во втором случае.
		
			Учитывая, что сопротивление проволоки нагревателя составляет приблизительно $ R_{н} \approx 35 \; Ом $ и в процессе опыта практически не меняется, искомое значение тока: $ I_{0}=\sqrt{\frac{N_{0}}{R_{н}}} \approx 0.08 \; А $ (в первом случае), $ I_{0}=\sqrt{\frac{N_{0}}{R_{н}}} \approx 0.07 \; А $(во втором случае).
		\item Зафиксируем $ \Delta T(N) $ для двух значений $ q $ (между измерениями калориметр надлежит остудить):
		$ q_{1} = 0.236 \; г/с $, $ q_{2} = 0.179 \; г/с $.
	\begin{table}[h]
	\begin{center}
	\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
				\hline
				$U, В$ & $I, мА$ & $ N $, Вт & $ \varepsilon, мкВ $ & $ \Delta T, К $ \\
				\hline
				6.105 & 169.81 & 1.0367 & 154 & 3.78 \\
				\hline
				5.576 & 155.02 & 0.8644 & 127 & 3.12 \\
				\hline
				5.334 & 148.46 & 0.7919 & 120 & 2.95 \\
				\hline
				4.947 & 133.77 & 0.6618 & 102 & 2.51 \\
				\hline
	
	\end{tabular}
	\end{center}
		\caption{Зависимость $ \Delta T(N)$ для $ q_{1} $}
	\end{table}
	\begin{table}[h]
	\begin{center}
	\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
				\hline
				$U, В$ & $I, мА$ & $ N $, Вт & $ \varepsilon, мкВ $ & $ \Delta T, К $ \\
				\hline
				5.934 & 165.82 & 0.984 & 186 & 4.57 \\
				\hline
				5.021 & 140.4 & 0.7049 &131 & 3.22 \\
				\hline
				4.572 & 127.83 & 0.5844 & 108 & 2.65 \\
				\hline
				4.231 & 118.3 & 0.5005 & 93 & 2.29 \\
				\hline
	
	\end{tabular}
	\end{center}
		\caption{Зависимость $ \Delta T(N)$ для $ q_{2} $}
	\end{table}

\end{enumerate}
\subsection{Обработка данных}
Построим на одном графике зависимости $ \Delta T(N) $ при $ q_{1} $ и $ q_{2} $.
Коэффициент аппроксимирующей прямой найдем по формуле $$ k = \frac{\overline{\Delta T N}}{\overline{N^{2}}} $$

Итого, $ k_{1} = 3.68 $, $ k_{2} = 4.6 $.
$$ \sigma_{k} = \sqrt{\frac{1}{n-1}(\frac{\overline{\Delta T^{2}}}{\overline{N^{2}}}-k^{2})} $$ 
$$ \sigma_{k_{1}} \approx 0.023 \; \frac{К}{Вт} $$, $$ \sigma_{k_{2}} \approx 0.0188 \; \frac{К}{Вт} $$
\begin{figure}[h!]
	\centering
	\begin{gnuplot}[terminal=epslatex]
		set grid
set xlabel '$ N $, Вт'
set ylabel '$ \Delta T $, C'

set multiplot
set yrange [0:1500]
set xrange [0:7]
set key spacing 2
set key bottom right
set key off

set style line 1 lt 1 pt 7 ps 0.5 lc rgb "red" 
set style line 2 lt 1 pt 7 ps 0.5 lc rgb "blue"
set style line 4 lc black 

set key box linestyle 4
set key opaque Left

plot "2.1.3(22.8).data" using 1:2  notitle linestyle 1 

	\end{gnuplot}
\end{figure}

Воспользуемся соотношениями $ C_{p}q_{1} + \alpha = \frac{1}{k_{1}}, \; C_{p}q_{2} + \alpha = \frac{1}{k_{2}} $, откуда имеем 
$$ C_{p} = \frac{k_{2}-k_{1}}{k_{2}k_{1}(q_{1}-q_{2})} $$
$$ \alpha = \frac{1}{k_{1}} - C_{p}q_{1} $$
Отсюда имеем: $ C_{p} \approx 1.006 \; \frac{Дж}{г*К} $, $ \alpha \approx 0.042 \; \frac{Вт}{К} $

Определим долю тепловых потерь: $ \frac{N_{пот}}{N} = \frac{\alpha}{C_{p}q + \alpha}$.
$$ \frac{N_{пот}}{N_{1}} \approx 0.153$$
$$ \frac{N_{пот}}{N_{2}} \approx 0.189$$

Определим погрешность измерения $ C_{p} $:
$$ \sigma_{C_{p}} = \sqrt{(\frac{\sigma_{k_{1}}}{k_{1}^{2}(q_{1}-q_{2})})^{2}+(\frac{\sigma_{k_{2}}}{k_{2}^{2}(q_{1}-q_{2})})^{2}+ (\frac{k_{2}-k_{1}}{k_{2}k_{1}(q_{1}-q_{2})^{2}})^{2}(\sigma_{q_{1}}^{2}+\sigma_{q_{2}}^{2})^{2}} $$
Итого, $\sigma_{C_{p}} \approx 0.165 \;\frac{Дж}{г*К}$

$$ \sigma_{\alpha} = \sqrt{(\frac{\sigma_{k_{1}}}{k_{1}^{2}})^{2} + (q_{1}\sigma_{C_{p}})^{2} + (C_{p}\sigma_{q_{1}})^{2} } \approx 0.002 \; \frac{Вт}{К} $$

$$ \frac{\sigma_{N_{пот}}}{N} = \frac{1}{(C_{p}q+\alpha)^{2}}\sqrt{(C_{p}q\sigma_{\alpha})^{2}+(\alpha q \sigma_{C_{p}})^{2} + (\alpha C_{p} \sigma_{q})^{2} }$$
$$ \frac{\sigma_{N_{пот}}}{N_{1}} \approx 0.0217, \; \frac{\sigma_{N_{пот}}}{N_{2}} \approx 0.0257 $$
\subsection{Обсуждение результатов}
Полученное значение $ C_{p} = 1.006 \pm 0.165 \; \frac{Дж}{г*К} $ практически совпадает с табличным $ C_{p}^{табл} = 1.004 \; \frac{Дж}{г*К} $
Предположение о линейной зависимости $ \Delta T (N) $ подтвердилось.

\subsection{Вывод}
Экспериментальным путем мы смогли определить крайне близкое к реальному значение удельной теплоемкости воздуха при постоянном давлении.
\end{document}
