\documentclass[a4paper,12pt]{article} % добавить leqno в [] для нумерации слева \usepackage[a4paper,top=1.3cm,bottom=2cm,left=1.5cm,right=1.5cm,marginparwidth=0.75cm]{geometry} %%% Работа с русским языком \usepackage{cmap} % поиск в PDF \usepackage[warn]{mathtext} % русские буквы в фомулах \usepackage[T2A]{fontenc} % кодировка \usepackage[utf8]{inputenc} % кодировка исходного текста \usepackage[english,russian]{babel} % локализация и переносы %\usepackage{physics} \usepackage{multirow} \usepackage{longtable} %%% Нормальное размещение таблиц (писать [H] в окружении таблицы) \usepackage{float} \restylefloat{table} \usepackage{graphicx} \usepackage{wrapfig} \usepackage{tabularx} \usepackage{hyperref} \usepackage[rgb]{xcolor} \hypersetup{ colorlinks=true,urlcolor=blue } \usepackage{pgfplots} \pgfplotsset{compat=1.9} %%% Дополнительная работа с математикой \usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,amsthm,mathtools} % AMS \usepackage{icomma} % "Умная" запятая: $0,2$ --- число, $0, 2$ --- перечисление %% Номера формул \mathtoolsset{showonlyrefs=true} % Показывать номера только у тех формул, на которые есть \eqref{} в тексте. %% Шрифты \usepackage{euscript} % Шрифт Евклид \usepackage{mathrsfs} % Красивый матшрифт %% Свои команды \DeclareMathOperator{\sgn}{\mathop{sgn}} %% Перенос знаков в формулах (по Львовскому) \newcommand*{\hm}[1]{#1\nobreak\discretionary{} {\hbox{$\mathsurround=0pt #1$}}{}} \date{\today} \usepackage{gensymb} \begin{document} \begin{titlepage} \vspace{4.5cm} {\huge \begin{center} {\bf Отчёт о выполнении лабораторной работы 2.1.3}\\ Определение $ C_p/C_v $ по скорости звука в газе \end{center} } \vspace{2cm} \begin{flushright} {\LARGE Автор:\\ Гришаев Григорий Павлович \\ \vspace{0.2cm} С01-119} \end{flushright} \end{titlepage} \section{Введение} \textbf{Цель работы:} \begin{enumerate} \item измерение частоты колебаний и длины волны при резонансе звуковых колебаний в газе, заполняющем трубу; \item определение показателя адиабаты с помощью уравнения состояния идеального газа. \end{enumerate} \textbf{В работе используются:} звуковой генератор ГЗ; электронный осциллограф ЭО; микрофон; телефон; раздвижная труба; теплоизолированная труба, обогреваемая водой из термостата; баллон со сжатым углекислым газом; газгольдер. \section{Теоретические сведения} Скорость распространения звуковой волны в газах зависит от показателя адиабаты $ \gamma $. На измерении скорости звука основан один из наиболее точных методов определения показателя адиабаты. Скорость звука в газах определяется формулой: \begin{equation}\label{velocity} c=\sqrt{\gamma\frac{RT}{\mu}}. \end{equation} где $ R $ -- газовая постоянная, $ T $ -- температура газа, а $ \mu $ -- его молярная масса. Преобразуя эту формулу, найдем \begin{equation}\label{gamma} \boxed{\gamma = \frac{\mu}{RT}c^2}. \end{equation} Таким образом, для определения показателя адиабаты достаточно измерить температуру газа и скорость распространения звука (молярная масса газа предполагается известной). Звуковая волна, распространяющаяся вдоль трубы, испытывает многократные отражения от торцов. Звуковые колебания в трубе являются наложением всех отраженных волн и очень сложны. Картина упрощается, если длина трубы $ L $ равна целому числу полуволн, то есть когда \[ L=n\lambda/2, \] где $ \lambda $ -- длина волны звука в трубе, а $ n $ -- любое целое число. Если это условие выполнено, то волна, отраженная от торца трубы, вернувшаяся к ее началу и вновь отраженная, совпадает по фазе с падающей. Совпадающие по фазе волны усиливают друг друга. Амплитуда звуковых колебаний при этом резко возрастает -- наступает резонанс. При звуковых колебаниях слои газа, прилегающие к торцам трубы, не испытывают смещения. Узлы смещения повторяются по всей длине трубы через $ \lambda/2 $. Между узлами находятся максимумы смещения. Скорость звука c связана с его частотой $ f $ и длиной волны $ \lambda $ соотношением \begin{equation}\label{lambda_f} c=\lambda f. \end{equation} Подбор условий, при которых возникает резонанс, можно производить двояко: \begin{enumerate} \item При неизменной частоте $ f $ звукового генератора (а следовательно, и неизменной длине звуковой волны $ \lambda $) можно изменять длину трубы $ L $. Для этого применяется раздвижная труба. Длина раздвижной трубы постепенно увеличивается, и наблюдается ряд последовательных резонансов. Возникновение резонанса легко наблюдать на осциллографе по резкому увеличению амплитуды колебаний. Для последовательных резонансов имеем \begin{equation}\label{first} L_n=n\frac{\lambda}{2}, \quad L_{n+1}=(n+1)\frac{\lambda}{2}, \quad \dots, \quad L_{n+k} = n\frac{\lambda}{2}+k\frac{\lambda}{2}, \end{equation} т. е. $ \lambda/2 $ равно угловому коэффициенту графика, изображающего зависимость длины трубы $ L $ от номера резонанса $ k $. Скорость звука находится по формуле \eqref{lambda_f}. \item При постоянной длине трубы можно изменять частоту звуковых колебаний. В этом случае следует плавно изменять частоту $ f $ звукового генератора, а следовательно, и длину звуковой волны $ \lambda $. Для последовательных резонансов получим \begin{equation}\label{4} L=\frac{\lambda_1}{2}n=\frac{\lambda_2}{2}(n+1)=\dots=\frac{\lambda_{k+1}}{2}(n+k). \end{equation} Из \eqref{lambda_f} и \eqref{4} имеем: \[ f_1=\frac{c}{\lambda_1}=\frac{c}{2L}n, \quad f_2=\frac{c}{\lambda_2}=\frac{c}{2L}(n+1)=f_1+\frac{c}{2L},\quad \dots, \] \begin{equation}\label{5} f_{k+1}=\frac{c}{\lambda_{k+1}}=\frac{c}{2L}(n+k)=f_1+\frac{c}{2L}k. \end{equation} Скорость звука, деленная на $ 2L $, определяется, таким образом, по угловому коэффициенту графика зависимости частоты от номера резонанса. \end{enumerate} \section{Экспериментальная установка} Соответственно двум методам измерения скорости звука в работе имеются две установки (рис. \ref{img1} и \ref{img2}). В обеих установках звуковые колебания в трубе возбуждаются телефоном Т и улавливаются микрофоном М. Мембрана телефона приводится в движение переменным током звуковой частоты; в качестве источника переменной ЭДС используется звуковой генератор ГЗ. Возникающий в микрофоне сигнал наблюдается на осциллографе ЭО. Микрофон и телефон присоединены к установке через тонкие резиновые трубки. Такая связь достаточна для возбуждения и обнаружения звуковых колебаний в трубе и в то же время мало возмущает эти колебания: при расчетах оба торца трубы можно считать неподвижными, а влиянием соединительных отверстий пренебречь. Первая установка (рис. \ref{img1}) содержит раздвижную трубу с миллиметровой шкалой. Через патрубок (на рисунке не показан) труба может наполняться воздухом или углекислым газом из газгольдера. На этой установке производятся измерения $ \gamma $ для воздуха и для $ CO_2 $. Вторая установка (рис. \ref{img2}) содержит теплоизолированную трубу постоянной длины. Воздух в трубе нагревается водой из термостата. Температура газа принимается равной температуре омывающей трубу воды. На этой установке измеряется зависимость скорости звука от температуры. \begin{figure}[H] \begin{center} \includegraphics[width=12cm]{ust1.jpg} \end{center} \caption{\textit{Установка для измерения скорости звука при помощи раздвижной трубы}} \label{img1} \end{figure} \begin{figure}[H] \begin{center} \includegraphics[width=12cm]{ust2.jpg} \end{center} \caption{\textit{Установка для изучения зависимости скорости звука от температуры}} \label{img2} \end{figure} \section{Ход работы} \subsection{Измерение $ C_p/C_v $ для воздуха при различных температурах} Проведём измерения $ C_p/C_v $ для воздуха при различных температурах. Для этого будем использовать трубу постоянного размера $ L = (740 \pm 1) $ мм. Для фиксированной температуры будем изменять частоту звукового сигнала, тем самым изменяя и длину волны, так, чтобы мы могли наблюдать последовательные резонансы. Для каждого резонанса будем фиксировать частоту, при которой он возник. Полученные измерения занесём в таблицу \ref{tab:constL}. \begin{table}[H] \centering \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline $ T $, К & \multicolumn{2}{c|}{\textbf{303}} & \multicolumn{2}{c|}{\textbf{310}} & \multicolumn{2}{c|}{\textbf{317}} & \multicolumn{2}{c|}{\textbf{323}} & \multicolumn{2}{c|}{\textbf{328}} \\ \hline k & $ \hat{f_k} $, Гц & $ f_k $, Гц & $ \hat{f_k} $, Гц & $ f_k $, Гц & $ \hat{f_k} $, Гц & $ f_k $, Гц & $ \hat{f_k} $, Гц & $ f_k $, Гц & $ \hat{f_k} $, Гц & $ f_k $, Гц \\ \hline 0 & 712 & 0 & 255 & 0 & 253 & 0 & 258 & 0 & 260 & 0 \\ \hline 1 & 941 & 229 & 489 & 234 & 493 & 240 & 488 & 230 & 496 & 236 \\ \hline 2 & 1171 & 459 & 718 & 463 & 725 & 472 & 732 & 474 & 731 & 471 \\ \hline 3 & 1410 & 698 & 944 & 689 & 963 & 710 & 971 & 713 & 977 & 717 \\ \hline 4 & 1640 & 928 & 1185 & 930 & 1201 & 948 & 1203 & 945 & 1216 & 956 \\ \hline 5 & 1875 & 1163 & 1423 & 1168 & 1436 & 1183 & 1450 & 1192 & 1463 & 1203 \\ \hline 6 & 2106 & 1394 & 1657 & 1402 & 1677 & 1424 & 1697 & 1439 & 1697 & 1437 \\ \hline 7 & 2337 & 1625 & 1897 & 1642 & 1917 & 1664 & 1937 & 1679 & 1950 & 1690 \\ \hline \end{tabular} \caption{Результаты измерений при разных температурах для воздуха} \label{tab:constL} \end{table} Также занесём в таблицу величину $ f_k = \hat{f_k} - \hat{f_0} $. Погрешность измерения такой величины составит $ \sigma_{f_k} = \sigma_{\hat{f_k}}\sqrt{2} \approx 2,82 $ Гц. По полученным экспериментальным данным построим графики зависимости $ f_k(k) $. \begin{center} \begin{tikzpicture} \begin{axis}[ title={График зависимости $f_k(k)$ для воздуха}, xlabel={Номера резонанса $ k $}, ylabel={Резонансная частота $ f $, Гц}, legend pos=north west, xmajorgrids=true, ymajorgrids=true, grid style=dashed, /pgf/number format/.cd,% set thousands separator={}, set decimal separator={,}, xmin = 0, %xmax = 4.3, ymin = 0, %ymax = 5500, width = 510, height = 670, ] \legend{ $ T = 303 $ К,, $ T = 310 $ К,, $ T = 317 $ К,, $ T = 323 $ К,, $ T = 328 $ К,, }; \addplot+ [black, only marks, mark size = 3pt, mark=*, mark options = { fill = red, draw = black}, error bars/.cd, y dir=both, y explicit, ] table [x = k, y = L, y error = dL,] { k L dL 0 0 3 1 229 3 2 459 3 3 698 3 4 928 3 5 1163 3 6 1394 3 7 1625 3 }; \addplot [red, domain=0:7.1, line width = 2.2pt] { 232.192857085818 * x}; \addplot+ [black, only marks, mark size = 3pt, mark options = { fill = blue, draw = black}, error bars/.cd, y dir=both, y explicit, ] table [x = k, y = L, y error = dL,] { k L dL 0 0 3 1 234 3 2 463 3 3 689 3 4 930 3 5 1168 3 6 1402 3 7 1642 3 }; \addplot [blue, domain=0:7.1, line width = 2.2pt] { 233.521428412963 * x}; \addplot+ [black, only marks, mark size = 3pt, mark options = { fill = green, draw = black}, error bars/.cd, y dir=both, y explicit, ] table [x = k, y = L, y error = dL,] { k L dL 0 0 3 1 240 3 2 472 3 3 710 3 4 948 3 5 1183 3 6 1424 3 7 1664 3 }; \addplot [green, domain=0:7.1, line width = 2.2pt] { 237.235714303741 * x}; \addplot+ [black, only marks, mark size = 3pt, mark options = { fill = orange, draw = black}, error bars/.cd, y dir=both, y explicit, ] table [x = k, y = L, y error = dL,] { k L dL 0 0 3 1 230 3 2 474 3 3 713 3 4 945 3 5 1192 3 6 1439 3 7 1679 3 }; \addplot [orange, domain=0:7.1, line width = 2.2pt] { 238.885714210443 * x}; \addplot+ [black, mark=halfcircle*, only marks, mark size = 3pt, mark options = { fill = violet, draw = black}, error bars/.cd, y dir=both, y explicit, ] table [x = k, y = L, y error = dL,] { k L dL 0 0 3 1 236 3 2 471 3 3 717 3 4 956 3 5 1203 3 6 1437 3 7 1690 3 }; \addplot [violet, domain=0:7.1, line width = 2.2pt] { 240.142856845106 * x}; \end{axis} \end{tikzpicture} \end{center} Аппроксимируем полученные зависимости прямыми $ y=ax $ используя метод наименьших квадратов. Коэффициент $ a $ и погрешности его определения находим согласно формулам \eqref{mnk:a}, \eqref{mnk:sigma_a} и \eqref{mnk:full_sigma}. Результаты вычислений для каждой температуры заносим в таблицу \ref{tab:resConstL}. \begin{table}[H] \centering \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline $ T $, К & $ a $, с$ ^{-1} $ & $ \sigma_a $, с$ ^{-1} $ & $ c $, м/с & $ \sigma_c $, м/с & $ \gamma $ & $ \sigma_\gamma $ \\ \hline 303 & 232,2 & 0,3 & 343,6 & 0,6 & 1,358 & 0,005 \\ \hline 310 & 233,5 & 0,3 & 345,6 & 0,6 & 1,343 & 0,005 \\ \hline 317 & 237,2 & 0,3 & 351,1 & 0,6 & 1,355 & 0,005 \\ \hline 323 & 238,9 & 0,3 & 353,6 & 0,6 & 1,349 & 0,005 \\ \hline 328 & 240,1 & 0,3 & 355,4 & 0,6 & 1,342 & 0,005 \\ \hline \end{tabular} \caption{Результаты вычислений при различных температурах} \label{tab:resConstL} \end{table} Также, согласно формуле \eqref{5}, коэффициент наклона $ \displaystyle a = \frac{c}{2L}$. Тогда вычислим скорость звука $ c $ при фиксированной температуре и её погрешность, результаты вычислений занесём в таблицу \ref{tab:resConstL}. Кроме того, по формуле \eqref{gamma} вычислим $ \gamma $ при фиксированной температуре и погрешность этого вычисления. Результаты занесём в таблицу $ \ref{tab:resConstL} $. Согласно полученным данным, можно утверждать, что $ \gamma $ остаётся постоянной в исследуемом диапазоне температур. Поэтому усредним результаты, полученные при различных значениях температуры и получим для воздуха: \[ \boxed{\gamma = 1,350 \pm 0,004}\quad (\varepsilon=0,3\%) \] \section{Обсуждение результатов и выводы} В ходе выполнения работы мы измерили частоту колебаний и длину волны при резонансе звуковых колебаний в газе, заполняющем экспериментальную установку. Измерения проводились на установке, на которой длина трубы оставалась постоянной на протяжении всего опыта, а резонанса мы добивались при помощи изменения частоты звукового сигнала. В ходе этих измерений также исследовалась зависимость коэффициента адиабаты $ \gamma $ от температуры газа. Было получено, что показатель адиабаты не зависит от температуры в диапазоне температур $ 20-60 $ $ ^\circ C $ и равняется: \[ \boxed{\gamma_L = 1,350 \pm 0,004}\quad (\varepsilon=0,5\%) \] Сравним полученные данные с табличными. Согласно справочнику, показатель адиабаты для воздуха при нормальных условиях равен \underline{$ \gamma = 1,4 $}. Таким образом, можно утверждать, что результаты измерения незначительно отличаются от табличных. Это может быть связано с большой неточностью определения резонансных частот. Чтобы этого избежать, необходимо использовать генератор частоты с возможностью более точной настройки для возможности чёткого отслеживания резонансов. \end{document}