\documentclass[a4paper, 12pt]{article}%тип документа

%отступы
\usepackage[left=2cm,right=2cm,top=2cm,bottom=3cm,bindingoffset=0cm]{geometry}

%Русский язык
\usepackage[T2A]{fontenc} %кодировка
\usepackage[utf8]{inputenc} %кодировка исходного кода
\usepackage[english,russian]{babel} %локализация и переносы

%Вставка картинок
\usepackage{wrapfig}
\usepackage{graphicx}
\graphicspath{{pictures/}}
\DeclareGraphicsExtensions{.pdf,.png,.jpg}

%оглавление
\usepackage{titlesec}
\titlespacing{\chapter}{0pt}{-30pt}{12pt}
\titlespacing{\section}{\parindent}{5mm}{5mm}
\titlespacing{\subsection}{\parindent}{5mm}{5mm}
\usepackage{setspace}

%Графики
\usepackage{multirow}
\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{compat=1.9}

%Математика
\usepackage{amsmath, amsfonts, amssymb, amsthm, mathtools}

\usepackage{graphicx,xcolor}
\usepackage[cleanup]{gnuplottex}
\usepackage{subcaption}

\begin{document}
\begin{titlepage}
	\centering
	\vspace{5cm}
	{\scshape\LARGE Московский физико-технический институт \par}
	\vspace{4cm}
	{\scshape\Large Лабораторная работа 5.1.2 \par}
	\vspace{1cm}
	{\huge\bfseries Исследование эффекта Комптона \par}
	\vspace{12cm}
	{\LARGE Гришаев Григорий С01-119}
\end{titlepage}

\newpage
\paragraph{Цель работы:} С помощью сцинтилляционного спектрометра исследуется энергетический спектр $\gamma$-квантов, рассеянных на графите. Определяется энергия рассеянных $\gamma$-квантов в зависимости от угла рассеяния, а также энергия покоя частиц, на которых происходит комптоновское рассеяние.

\section{Теория}
Рассеяние $\gamma$-лучей в веществе относится к числу явлений, в которых особенно ясно проявляется двойственная природа излучения. Волновая теория, хорошо объясняющая рассеяние длинноволнового излучения, испытывает трудности при описании рассеяния рентгеновских и $\gamma$-лучей. Эта теория, в частности, не может объяснить, почему в составе рассеянного излучения, измеренного Комптоном, кроме исходной волны с частотой $\omega_{0}$ появляется дополнительная длинноволновая компонента, отсутствующая в спектре первичного излучения.

Появление этой компоненты легко объяснимо, если считать, что $\gamma$-излучение представляет собой поток квантов (фотонов), имеющих энергию $\hbar \omega$ и импульс $p=\hbar \omega / c .$ Эффект Комптона - увеличение длины волны рассеянного излучения по сравнению с падающим - интерпретируется как результат упругого соударения двух частиц: $\gamma$-кванта (фотона) и свободного электрона.

Рассмотрим элементарную теорию эффекта Комптона. 
Пусть электрон до соударения покоился (его энергия равна энергии покоя $m c^{2}$ ), a $\gamma$-квант имел начальную энергию $\hbar \omega_{0}$ и импульс $\hbar \omega_{0} / c .$ 
После соударения электрон приобретает энергию $\gamma m c^{2}$ и импульс $\gamma m v,$ где $\gamma=$ $=\left(1-\beta^{2}\right)^{-1 / 2}, \beta=v / c,$ a $\gamma$-квант рассеивается на некоторый угол $\theta$ по отношению к первоначальному направлению движения. 
Энергия и импульс $\gamma$-кванта становятся соответственно равным $\hbar \omega_{1}$ и $\hbar \omega_{1} / c$. 
Запишем для рассматриваемого процесса законы сохранения энергии и импульса:
$$
\begin{array}{c}
m c^{2}+\hbar \omega_{0}=\gamma m c^{2}+\hbar \omega_{1} \\
\frac{\hbar \omega_{0}}{c}=\gamma m v \cos \varphi+\frac{\hbar \omega_{1}}{c} \cos \theta \\
\gamma m v \sin \varphi=\frac{\hbar \omega_{1}}{c} \sin \theta
\end{array}
$$
Решая совместно эти уравнения и переходя от частот $\omega_{0}$ и $\omega_{1}$ к длинам волн $\lambda_{0}$ и $\lambda_{1},$ нетрудно получить, что изменение длины волны рассеянного излучения равно
\begin{equation}\label{delta_lambda}
\Delta \lambda=\lambda_{1}-\lambda_{0}=\frac{h}{m c}(1-\cos \theta)=\Lambda_{\mathrm{K}}(1-\cos \theta)
\end{equation}
где $\lambda_{0}$ и $\lambda_{1}$ - длины волн $\gamma$-кванта до и после рассеяния, а величина
$$
\Lambda_{\mathrm{K}}=\frac{h}{m c}=2,42 \cdot 10^{-10} \mathrm{cm}
$$

Основной целью данной работы является проверка соотношения (\ref{delta_lambda}). 
Применительно к условиям нашего опыта формулу (\ref{delta_lambda}) следует преобразовать от длин волн к энергии $\gamma$-квантов. Как нетрудно показать, соответствующее выражение имеет вид
\begin{equation}\label{energy}
\frac{1}{\varepsilon(\theta)}-\frac{1}{\varepsilon_{0}}=1-\cos \theta
\end{equation}
Здесь $\varepsilon_{0}=E_{0} /\left(m c^{2}\right)-$ выраженная в единицах $m c^{2}$ энергия $\gamma$-квантов, падаюших на рассеиватель, $\varepsilon(\theta)$ - выраженная в тех же единицах энергия квантов, испытавших комптоновское рассеяние на угол $\theta, m-$ масса электрона.


\section{Экспериментальная установка}
Блок-схема установки изображена на Рис.1. Источником излучения 1 служит $137 \mathrm{Cs},$ испускаюший $\gamma$-лучи с энергией 662 кэВ. 
Он помещен в толстостенный свинцовый контейнер с коллиматором. 
Сформированный коллиматором узкий пучок $\gamma$-квантов попадает на графитовую мишень 2 (цилиндр диаметром 40 мм и высотой 100 мм).

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[width = \textwidth]{0.jpg}
\caption{Экспериментальная установка}
\label{setup}
\end{center}
\end{figure}

Кванты, испытавшие комптоновское рассеяние в мишени, регистрируются сцинтилляционным счетчиком, принцип работы которого рассмотрен в работе 5.3. 
Счетчик состоит из фотоэлектронного умножителя 3 (далее ФЭУ) и сцинтиллятора 4. 
Сцинтиллятором служит кристалл NaI(Tl) цилиндрической формы диаметром 40 мм и высотой 40 мм, его выходное окно находится в оптическом контакте с фотокатодом ФЭУ. 
Сигналы, возникающие на аноде ФЭУ, подаются на ЭВМ для амплитудного анализа. 
Кристалл и ФЭУ расположены в светонепроницаемом блоке, укрепленном на горизонтальной штанге. 
Штанга вместе с этим блоком может вращаться относительно мишени, угол поворота отсчитывается по лимбу 6.

\section{Обработка результатов}

Для обработки результатов используется формула (\ref{energy}) с замененными энергиями квантов на $N(\theta)$.
\begin{equation}\label{main_eq}
\frac{1}{N(\theta)} - \frac{1}{N(0)} = A(1-\cos\theta)
\end{equation}
\newpage
\section{Ход работы}

Графики для углов $\theta = 0^0-110^0$ представлены на фотографиях ниже (Рис.\ref{graphs}).

\begin{figure}[h]
\centering

\begin{subfigure}{0.7\textwidth}
\includegraphics[width=\linewidth]{1.jpg}
\caption{Проверка для $\theta = 0-40^0$} 
\end{subfigure}

\hfill

\begin{subfigure}{0.7\textwidth}
\includegraphics[width=\linewidth]{2.jpg}
\caption{Проверка для $\theta = 50-90^0$} 
\end{subfigure}

\hfill

\begin{subfigure}{0.7\textwidth}
\includegraphics[width=\linewidth]{3.jpg}
\caption{Проверка для $\theta = 100-110^0$} 
\end{subfigure}

\caption{Графики для $\theta = 0 - 90^0$}
\label{graphs}
\end{figure}

Коэффициент $A$ найдем с помощью графика зависимости $1-\cos \theta$ от $\frac{1}{N(\theta)} - \frac{1}{N(0)}$. В таблицу занесем все измеренные величины:

\begin{table}[h!]
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
$\theta$, $^0$  & $\sigma_{\theta}$, $^0$  & $N(\theta)$  & $\sigma_{N(\theta)}$  \\ \hline
0               & 1                        & 860          & 20                    \\ \hline
10              & 1                        & 847          & 20                    \\ \hline
20              & 1                        & 743          & 20                    \\ \hline
30              & 1                        & 672          & 20                    \\ \hline
40              & 1                        & 623          & 20                    \\ \hline
50              & 1                        & 521          & 20                    \\ \hline
60              & 1                        & 461          & 20                    \\ \hline
70              & 1                        & 427          & 20                    \\ \hline
80              & 1                        & 376          & 20                    \\ \hline
90              & 1                        & 343          & 20                    \\ \hline
100             & 1                        & 315          & 20                    \\ \hline
110             & 1                        & 288          & 20                    \\ \hline
\end{tabular}
        \caption{Измерение $N(\theta)$}
\end{center}
\end{table}

\begin{figure}[h]
    \centering
        \begin{gnuplot}[terminal=epslatex]
            set xrange[0:1.4]
            set yrange[0:0.0025]
            set grid
            unset key
    
            set mxtics 5
            set mytics 5
   
            set xlabel '$1 - cos \theta$'
            set ylabel '$\frac{1}{N(\theta)} - \frac{1}{N(0)}$'
            set grid mxtics mytics
    
            set multiplot
    
            plot 'algos/plot.dat' pt 7 ps 1
            plot 1.7670420408213902e-3 * x
        \end{gnuplot}
        \caption{График зависимости $\frac{1}{N(\theta)} - \frac{1}{N(0)}$ от $1 - cos(\theta)$}
        \label{graph}
\end{figure}

В итоге: $ A = 0.001767 $.
Теперь, для уменьшения погрешности, мы можем использовать коэффициент $ A $ для вычисления $ N(0) $ и $ N(90) $: $ N(0) = 860 $, $ N(90) = 341 $.

Получаем, что соотношение (\ref{main_eq}) справедливо и эффект Комптона в данном эксперименте имеет место быть.

Теперь посчитаем энергию $\gamma$-кванта по формуле, полученной из формулы (\ref{energy}). Получаем формулы для энергии и погрешности
\begin{equation}
        E_{\gamma} = mc^2 \frac{N(0) - N(90)}{N(90)} \approx 771.5 \text{ кэВ}
\end{equation}
\begin{equation}
        \sigma_{E_{\gamma}} = \sqrt{(\frac{mc^{2}}{N(90)})^{2} \cdot \sigma_{N(90)}^{2} + (\frac{mc^{2}N(0)}{N^{2}(90)})^{2} \cdot \sigma_{N(90)}^{2}} \approx 80.6 \text{ кэВ}
\end{equation}

Итого,
\[E_{\gamma} = (771.5 \pm 80.6) \text{ кэВ}\]

\section{Вывод} 
В работе мы исследовали спектр излучения $\gamma$-квантов на графите и получили, что соотношение (\ref{main_eq}), приведенное в теории, справедливо.
Также мы убедились в том, что эффект Комптона в принципе возникает в нашем опыте.
Мы измерили энергию $\gamma$-кванта: $(771.5 \pm 80.6) \text{ кэВ}$.
\end{document}
